HNI 13/9 - 🌺Chương 26. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Phần 1. Mở đầu – Tư duy tọa độ và bước ngoặt trong hình học Trong hành trình phát triển của Toán học, hình học thuần túy dựa trên trực giác, dựng hình và các định lý cổ điển đã từng thống trị hàng nghìn năm. Từ Euclid với bộ “Nguyên lý” bất hủ cho đến Apollonius với hình học đường conic, tất cả đều dựa trên suy luận logic hình học. Tuy nhiên, một bước ngoặt vĩ đại xảy ra vào thế kỷ XVII khi René Descartes và Pierre de Fermat đặt nền móng cho một phương pháp hoàn toàn mới: hình học giải tích – hay chính là việc dùng tọa độ và đại số để nghiên cứu hình học. Phương pháp tọa độ mở ra một chân trời mới: thay vì chỉ dựa vào hình vẽ và lập luận hình học, ta có thể “dịch” mọi đối tượng hình học thành các phương trình và hệ số trong đại số. Nhờ vậy, toán học bước vào kỷ nguyên hiện đại, nơi hình học và đại số kết hợp chặt chẽ với nhau. Trong chương này, chúng ta sẽ đi sâu vào phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, một công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp bằng cách biến đổi thành ngôn ngữ phương trình. Từ đó, ta không chỉ rèn luyện khả năng suy luận logic, mà còn cảm nhận được vẻ đẹp của sự giao thoa giữa hai ngành toán học tưởng như tách biệt. Phần 2. Hệ tọa độ và điểm trong mặt phẳng 2.1. Hệ tọa độ Descartes Trong mặt phẳng, ta chọn hai trục vuông góc: Ox (trục hoành) và Oy (trục tung). Giao điểm O của hai trục được gọi là gốc tọa độ. Mỗi điểm M bất kỳ trong mặt phẳng sẽ được xác định bởi một cặp số thực (x, y). Trong đó, x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm M. Ta viết: M(x,y) Nhờ hệ tọa độ này, hình học không còn chỉ là hình vẽ trực quan, mà trở thành một không gian số hóa, nơi mỗi điểm là một cặp số, và mỗi đường là một tập hợp nghiệm của phương trình. 2.2. Khoảng cách giữa hai điểm Đây là một ứng dụng trực tiếp của định lý Pythagore trong hệ tọa độ. 2.3. Trung điểm của đoạn thẳng Nếu M là trung điểm của đoạn AB, ta có: Công thức đơn giản nhưng vô cùng hữu ích, nhất là khi giải các bài toán liên quan đến hình bình hành, hình thang hay tam giác. Phần 3. Phương trình đường thẳng 3.1. Khái niệm cơ bản Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi đường thẳng đều có thể được biểu diễn bởi một phương trình đại số bậc nhất: ax+by+c=0,(a,b)

ThiếtHNI 13/9 - B25. 💥💥💥 🌺 CHƯƠNG 17.: ĐẠO HÀM – CÔNG CỤ CỦA SỰ BIẾN THIÊN 1. MỞ ĐẦU: KHI VẠN VẬT LUÔN CHUYỂN ĐỘNG Trong thế giới quanh ta, chẳng có gì đứng yên. Trái đất quay quanh Mặt Trời, dòng sông chảy xuôi về biển, chiếc xe tăng tốc trên đường, và ngay cả nhịp tim trong lồng ngực cũng không bao giờ giữ một giá trị bất biến. Toán học không chỉ mô tả những con số, nó còn đi sâu vào bản chất của sự biến thiên – tức là sự thay đổi liên tục của mọi hiện tượng. Đạo hàm chính là công cụ kỳ diệu mà loài người đã sáng tạo để nắm bắt, đo lường và hiểu rõ những biến thiên ấy. Nó giống như một chiếc kính hiển vi giúp ta nhìn thấy tốc độ thay đổi tại từng khoảnh khắc vô cùng nhỏ, nơi mà mắt thường không thể nhận ra. Nếu không có khái niệm đạo hàm, ta sẽ không thể giải thích tại sao vận tốc của chiếc xe tại một giây cụ thể lại bằng con số hiển thị trên đồng hồ, hay tại sao trong kinh tế học, sự thay đổi nhỏ trong chi phí sản xuất lại ảnh hưởng mạnh đến lợi nhuận. Đạo hàm vừa là công cụ toán học, vừa là ngôn ngữ của sự vận động. 2. Khái niệm trực giác: Đạo hàm là vận tốc tức thời Hãy tưởng tượng bạn đang đi xe máy trên một con đường dài. Trên bảng đồng hồ, bạn thấy kim tốc độ dao động quanh 40 km/h – 50 km/h. Nhưng bạn tự hỏi: “Ở đúng giây thứ 30, vận tốc của mình là bao nhiêu?” Nếu ta lấy tổng quãng đường chia cho tổng thời gian thì chỉ ra vận tốc trung bình. Nhưng để biết chính xác tại một thời điểm, ta cần một khái niệm mạnh mẽ hơn: đó chính là đạo hàm. Đạo hàm tại một điểm cho ta biết tốc độ thay đổi của hàm số tại đúng điểm đó. Với hàm số vị trí s ′ (t) chính là gia tốc – sự thay đổi của vận tốc theo thời gian. Đạo hàm vì thế trở thành chiếc “máy đo biến thiên” của mọi đại lượng. 3. Định nghĩa toán học: Giới hạn và đạo hàm Trực giác là vậy, nhưng toán học đòi hỏi một công cụ chính xác. Đạo hàm của hàm số f ( Đây chính là tỷ số vi phân giữa sự thay đổi của hàm số so với sự thay đổi của biến số khi khoảng cách h h tiến về 0. Nếu giới hạn tồn tại, ta nói hàm số khả vi tại

HNI 13/9 - 🌺Chương 25. Hình không gian: khối đa diện, hình cầu, hình trụ 1. Mở đầu: Từ mặt phẳng đến không gian Khi chúng ta còn ở chương trước, các hình học phẳng như đường tròn, tam giác, tứ giác đã mở ra một thế giới đầy quy luật. Nhưng vũ trụ nơi con người sống không dừng lại ở mặt phẳng hai chiều. Vạn vật tồn tại trong không gian ba chiều – nơi độ dài, chiều rộng và chiều cao cùng nhau kiến tạo nên hình khối. Chính trong không gian này, toán học tìm thấy những biểu tượng hoàn hảo của cấu trúc: khối đa diện, hình cầu và hình trụ. Những khối hình không gian không chỉ là sản phẩm của tư duy toán học trừu tượng mà còn gắn bó mật thiết với thực tế: từ hạt bụi li ti mang dạng cầu, cột đá hình trụ trong kiến trúc, đến những khối đa diện phức tạp ẩn hiện trong cấu trúc tinh thể hay phân tử. Bởi vậy, nghiên cứu chúng không chỉ giúp ta rèn luyện tư duy hình học, mà còn mở rộng tầm nhìn về cách con người mô tả và điều khiển thế giới vật chất. 2. Khối đa diện – nền tảng của hình học không gian 2.1. Định nghĩa và bản chất Một khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi hữu hạn các đa giác phẳng. Mỗi đa giác tạo thành một mặt của khối, các cạnh của chúng là cạnh khối đa diện, còn điểm chung của các cạnh là đỉnh. Khối đa diện gợi cho ta cảm giác vững chắc, góc cạnh, rõ ràng. Nó như viên gạch nền tảng để xây nên những công trình vĩ đại của kiến trúc, như khối Rubik quen thuộc hay như tinh thể muối có dạng lập phương. 2.2. Các loại khối đa diện Có vô vàn khối đa diện, nhưng chúng thường được phân chia thành hai nhóm lớn: Khối đa diện đều: Mỗi mặt là một đa giác đều, các đỉnh “công bằng” như nhau. Nổi bật nhất là 5 khối Platon: tứ diện đều, lập phương, bát diện đều, mười hai mặt đều, hai mươi mặt đều. Đây là những hình khối mà triết gia Plato xem như “hạt giống” của vũ trụ – biểu tượng của lửa, đất, khí, nước và tinh thần. Khối đa diện lồi và lõm: Khi tất cả các mặt phình ra ngoài, ta có khối lồi; còn khi một số mặt bị thụt vào trong, hình thành những khối kỳ ảo, ta có khối lõm. 2.3. Công thức Euler – nhịp tim của đa diện Một trong những định lý đẹp nhất trong hình học không gian chính là công thức Euler:

13/9 HNI https://www.hniquantum.org//photos/13987

HNI 13/9 - 🌺Chương 23: Đường tròn – sự hoàn hảo của hình học 1. Mở đầu: Đường tròn – hình vĩnh hằng trong tư duy nhân loại Từ ngàn xưa, con người đã ngước nhìn bầu trời đêm và nhận ra một hình dáng lạ lùng nhưng quen thuộc: mặt trăng tròn, mặt trời tròn, mắt người tròn, giọt sương long lanh cũng tròn. Trong tự nhiên, hiếm có hình nào vừa giản dị vừa bao trùm đến thế. Đường tròn trở thành biểu tượng của sự vĩnh hằng, trọn vẹn, không có khởi đầu cũng không có kết thúc. Trong toán học, đường tròn không chỉ là một đối tượng hình học đơn thuần. Nó là một biểu tượng của sự hoàn hảo, một công cụ đo lường, một thước chuẩn cho vô vàn khái niệm: từ hình học phẳng Euclid đến lượng giác, từ thiên văn cổ đại đến cơ học hiện đại, từ nghệ thuật kiến trúc đến các định lý bất tử. Chương này sẽ dẫn chúng ta đi sâu vào bản chất của đường tròn, không chỉ về mặt toán học mà cả ý nghĩa triết học, văn hóa và khoa học mà nó đã in dấu qua hàng thiên niên kỷ. 2. Định nghĩa cơ bản và tính chất nền tảng 2.1. Định nghĩa Một đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tâm) một khoảng cách không đổi (bán kính). 2.2. Các yếu tố cơ bản Tâm (O): điểm cố định. Bán kính (r): khoảng cách từ tâm đến một điểm bất kỳ trên đường tròn. Đường kính (d): đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn và đi qua tâm, bằng 2 r 2r. Dây cung: đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn. Cung: phần của đường tròn bị chặn bởi hai điểm. 2.3. Tính chất Tất cả các bán kính bằng nhau. Tâm đối xứng của đường tròn chính là điểm trung tâm duy nhất. Đường tròn có tính chất đẳng hướng: nhìn từ tâm ra, mọi phương đều như nhau. Đây chính là lý do đường tròn được coi là hình hoàn hảo – không thiên vị một hướng nào, không phân biệt một điểm nào, tất cả đều công bằng. 3. Đường tròn trong lịch sử và triết học 3.1. Hy Lạp cổ đại Người Hy Lạp coi đường tròn là biểu tượng của sự thần thánh. Plato từng nói: “Thượng đế luôn hình thành vũ trụ theo hình tròn, vì đó là hình hoàn hảo nhất.” 3.2. Ấn Độ và Phật giáo Trong Phật giáo, bánh xe luân hồi (Dharma Chakra) có hình tròn, tượng trưng cho vòng sinh tử bất tận. 3.3. Văn hóa phương Đông

HNI 13/9 - 💎Phần III. Hình Học & Hình Học Giải Tích (Chương 21 – 30) 🌺Chương 21. Các định lý hình học cơ bản 1. Mở đầu: Tại sao cần các định lý hình học? Hình học không chỉ là những hình vẽ trên giấy. Nó là cách con người mô tả thế giới, không gian, sự vật quanh ta bằng những quy tắc logic chặt chẽ. Nếu số học dạy ta về lượng, đại số dạy ta về mối quan hệ ẩn dưới các con số, thì hình học lại dạy ta về không gian và hình dạng – thứ mà mắt ta nhìn thấy, tay ta chạm được, nhưng trí óc cần định lý để chứng minh. Một định lý hình học không phải chỉ là phát hiện của riêng một người, mà là sự thật phổ quát: đúng với mọi điểm, đường, góc, mặt phẳng trong không gian, bất kể ta vẽ nó ở đâu, trên giấy, trên bảng, hay trong không gian ba chiều. Trong chương này, chúng ta sẽ bước vào thế giới các định lý hình học cơ bản – những viên gạch nền tảng tạo nên toàn bộ lâu đài hình học. Chúng không chỉ giúp ta giải toán, mà còn mở ra tầm nhìn triết học: thế giới có trật tự, có quy luật, và con người chỉ có thể tiến bộ khi nắm được những quy luật đó. 2. Định lý Pythagoras – cội nguồn của hình học không gian Không có định lý nào nổi tiếng và nền tảng hơn định lý Pythagoras. Phát biểu: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. + Định lý này không chỉ là công cụ giải toán tam giác vuông. Nó là chìa khóa để mở ra hình học giải tích, để đo đạc khoảng cách trong mặt phẳng và không gian, và là nền tảng cho cả toán học hiện đại như giải tích vector, không gian Hilbert, thậm chí cả thuyết tương đối trong vật lý. Điều kỳ diệu là định lý này có hàng trăm cách chứng minh: từ Euclid, đến các nhà toán học Trung Hoa cổ đại, đến những hình vẽ đơn giản ghép các hình vuông. Chính sự đa dạng của chứng minh cho thấy tính chân lý vĩnh cửu của nó: một mệnh đề đơn giản, nhưng đẹp đến mức có vô số lối đi dẫn đến cùng một kết quả. 3. Định lý Thales – chiếc cầu nối từ đường tròn đến tam giác Nếu Pythagoras cho ta sự hài hòa trong tam giác vuông, thì định lý Thales lại cho ta sự đối xứng trong đường tròn. Phát biểu: Nếu một tam giác được nội tiếp trong một đường tròn và có cạnh huyền là đường kính, thì tam giác đó là tam giác vuông. Nói cách khác: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90°.

13/9 HNI https://www.hniquantum.org//photos/13995

HNI 13/9 - 🌺Chương 23: Đường tròn – sự hoàn hảo của hình học 1. Mở đầu: Đường tròn – hình vĩnh hằng trong tư duy nhân loại Từ ngàn xưa, con người đã ngước nhìn bầu trời đêm và nhận ra một hình dáng lạ lùng nhưng quen thuộc: mặt trăng tròn, mặt trời tròn, mắt người tròn, giọt sương long lanh cũng tròn. Trong tự nhiên, hiếm có hình nào vừa giản dị vừa bao trùm đến thế. Đường tròn trở thành biểu tượng của sự vĩnh hằng, trọn vẹn, không có khởi đầu cũng không có kết thúc. Trong toán học, đường tròn không chỉ là một đối tượng hình học đơn thuần. Nó là một biểu tượng của sự hoàn hảo, một công cụ đo lường, một thước chuẩn cho vô vàn khái niệm: từ hình học phẳng Euclid đến lượng giác, từ thiên văn cổ đại đến cơ học hiện đại, từ nghệ thuật kiến trúc đến các định lý bất tử. Chương này sẽ dẫn chúng ta đi sâu vào bản chất của đường tròn, không chỉ về mặt toán học mà cả ý nghĩa triết học, văn hóa và khoa học mà nó đã in dấu qua hàng thiên niên kỷ. 2. Định nghĩa cơ bản và tính chất nền tảng 2.1. Định nghĩa Một đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tâm) một khoảng cách không đổi (bán kính). 2.2. Các yếu tố cơ bản Tâm (O): điểm cố định. Bán kính (r): khoảng cách từ tâm đến một điểm bất kỳ trên đường tròn. Đường kính (d): đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn và đi qua tâm, bằng 2 r 2r. Dây cung: đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn. Cung: phần của đường tròn bị chặn bởi hai điểm. 2.3. Tính chất Tất cả các bán kính bằng nhau. Tâm đối xứng của đường tròn chính là điểm trung tâm duy nhất. Đường tròn có tính chất đẳng hướng: nhìn từ tâm ra, mọi phương đều như nhau. Đây chính là lý do đường tròn được coi là hình hoàn hảo – không thiên vị một hướng nào, không phân biệt một điểm nào, tất cả đều công bằng. 3. Đường tròn trong lịch sử và triết học 3.1. Hy Lạp cổ đại Người Hy Lạp coi đường tròn là biểu tượng của sự thần thánh. Plato từng nói: “Thượng đế luôn hình thành vũ trụ theo hình tròn, vì đó là hình hoàn hảo nhất.” 3.2. Ấn Độ và Phật giáo Trong Phật giáo, bánh xe luân hồi (Dharma Chakra) có hình tròn, tượng trưng cho vòng sinh tử bất tận. 3.3. Văn hóa phương Đông

HNI 13/9 - B28 💥💥💥. 🌺 CHƯƠNG 20.: ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI VÀ NỀN KINH TẾ SỐ (liên hệ Blockchain) PHẦN 1. KHỞI NGUỒN CỦA ĐẠI SỐ VÀ BƯỚC NGOẶT HIỆN ĐẠI Đại số là một trong những nhánh lâu đời và cơ bản nhất của Toán học. Từ thời Babylon cổ đại, con người đã biết dùng ký hiệu và phép biến đổi để giải quyết các bài toán thương mại, chia đất, tính lãi suất. Về sau, người Hy Lạp và người Ấn Độ phát triển thêm ký hiệu, hệ phương trình, đặt nền móng cho đại số sơ cấp mà ngày nay học sinh trên toàn thế giới vẫn còn làm quen. Nhưng khi bước vào thế kỷ XX, đại số không còn dừng lại ở việc giải phương trình bậc hai, bậc ba. Nó bùng nổ thành một “ngôn ngữ trừu tượng” mới, được gọi là đại số hiện đại. Các khái niệm như nhóm (group), vành (ring), trường (field), mô-đun (module) không còn đơn thuần là bài toán số học mà trở thành cấu trúc tổng quát, bao trùm nhiều lĩnh vực khoa học. Điểm đặc biệt của đại số hiện đại chính là khả năng mô hình hóa sự trừu tượng: mọi hệ thống có quy tắc vận hành đều có thể được diễn đạt thành một cấu trúc đại số. Và từ đó, Toán học không chỉ phục vụ tính toán mà còn trở thành công cụ kiến tạo các hệ thống tư duy, các nền tảng công nghệ. Blockchain – công nghệ nền tảng cho nền kinh tế số phi tập trung – chính là một minh chứng điển hình. Bên trong blockchain, những phép toán mật mã, những luật vận hành giao dịch, những nguyên tắc bất biến đều là ứng dụng trực tiếp của đại số hiện đại. Phần 2. Đại số trừu tượng – nền móng của tư duy hệ thống Đại số hiện đại còn gọi là đại số trừu tượng. Khác với đại số sơ cấp, vốn tập trung giải phương trình, đại số trừu tượng tìm cách định nghĩa các đối tượng toán học dưới dạng tập hợp kèm quy tắc vận hành. Nhóm (Group): Là cấu trúc gồm một tập hợp và một phép toán thỏa bốn tính chất: đóng, kết hợp, tồn tại phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo. Đây chính là nền tảng cho lý thuyết đối xứng, mật mã học và nhiều ứng dụng trong blockchain. Vành (Ring) và Trường (Field): Vành mở rộng khái niệm nhóm với hai phép toán, còn trường là vành m

13/9 HNI https://www.hniquantum.org//photos/13986