HNI 12/9: 🌺CHƯƠNG 13: Hàm số – nhịp tim của Toán học 1. Mở đầu – Vì sao gọi hàm số là nhịp tim? Toán học tựa như một cơ thể sống. Số học là xương cốt, hình học là dáng vóc, đại số là cơ bắp, còn hàm số chính là nhịp tim. Nhờ có nhịp tim, mọi hoạt động trong cơ thể được kết nối, tuần hoàn và vận hành nhịp nhàng. Cũng vậy, nhờ có hàm số, toán học trở nên sinh động, có dòng chảy liên tục và có khả năng mô tả sự vận động của thế giới. Một biểu thức khô khan bỗng mang ý nghĩa khi ta đặt nó vào mối liên hệ phụ thuộc: biến số này đổi, biến số kia đổi theo. Đó chính là linh hồn của hàm số: mối quan hệ giữa các đại lượng. Không có khái niệm hàm số, toán học sẽ rời rạc, từng công thức như nhịp đập lạc lõng. Nhưng với hàm số, mọi công thức trở thành giai điệu hòa ca, gắn bó chặt chẽ như những nhịp tim đập đều trong lồng ngực. 2. Khái niệm nền tảng về hàm số 2.1. Định nghĩa cơ bản Hàm số là một quy tắc, một quy luật, một sự tương ứng từ tập hợp này sang tập hợp khác, sao cho mỗi giá trị đầu vào (biến số) chỉ có một giá trị đầu ra duy nhất. Đầu vào được gọi là biến độc lập (thường ký hiệu là x x). Đầu ra được gọi là biến phụ thuộc (thường ký hiệu là 2.2. Bản chất của hàm số Điểm tinh túy không nằm ở chỗ “thay số vào công thức rồi tính ra kết quả”, mà ở mối quan hệ: một đại lượng đổi thì đại lượng kia đổi ra sao? Tốc độ, xu hướng, điểm cực trị… tất cả phản ánh qua nhịp điệu của hàm số. 2.3. Ví dụ trực quan Khi ta chạy xe: quãng đường s s phụ thuộc vào thời gian t t. Hàm số: t s=v⋅t. Khi bỏ tiền vào ngân hàng: số tiền lãi I I phụ thuộc vào vốn gốc P P, lãi suất r r và thời gian t t. Hàm số: I = P ⋅ r ⋅ t I=P⋅r⋅t. Khi gieo hạt giống: cây cao dần theo tuổi, hàm số chiều cao h ( t ) h(t) mô tả sự phát triển. Những ví dụ ấy chứng minh rằng hàm số không hề xa lạ – nó hiện diện trong từng hơi thở của cuộc sống. 3. Lịch sử phát triển của hàm số 3.1. Mầm mống thời cổ đại Người Babylon và Ai Cập đã biết đến mối liên hệ giữa đại lượng, chẳng hạn giữa diện tích và cạnh hình vuông. Tuy nhiên, khái niệm “hàm số” khi ấy chưa xuất hiện, chỉ có các công thức riêng lẻ. 3.2. Thời Descartes và Newton Descartes (thế kỷ XVII) mang lại hệ trục tọa độ, cho phép ta vẽ đồ thị, từ đó khái niệm hàm số bước ra ánh sáng. Newton và Leibniz phát minh giải tích, biến hàm số thành công cụ cốt lõi để mô tả chuyển động, vận tốc, gia tốc, quỹ đạo… 3.3. Thời Euler và sau này Euler là người sử dụng rộng rãi ký hiệu f(x), hệ thống hóa khái niệm hàm số thành một lý thuyết mạch lạc. Từ đó, hàm số trở thành trái tim của toán học hiện đại. 4. Phân loại các dạng hàm số 4.1. Hàm số tuyến tính y=ax+b Đường thẳng mô tả mối quan hệ tỷ lệ. Nó đơn giản nhưng mạnh mẽ, dùng để mô hình hóa vô số hiện tượng: lương theo giờ công, quãng đường theo vận tốc, nhiệt độ theo độ cao… 4.2. Hàm số bậc hai Đường parabol tượng trưng cho sự bay vút và rơi xuống, mô tả chuyển động ném xa, cầu vồng, quỹ đạo tên lửa. 4.3. Hàm số đa thức bậc cao Những đồ thị uốn lượn nhiều lần, phản ánh các hệ thống phức tạp hơn. 4.4. Hàm số phân thức . Đồ thị thường có tiệm cận – mô tả giới hạn, sự tiến gần nhưng không bao giờ chạm. 4.5. Hàm số mũ và logarit (x) là “chiếc gương” của hàm mũ, dùng trong đo lường cường độ âm thanh, độ sáng, độ Richter. 4.6. Hàm số lượng giác Chu kỳ, sóng, nhịp điệu của vũ trụ. Từ dao động con lắc, âm nhạc, ánh sáng đến sự tuần hoàn ngày đêm, tất cả được mô tả bằng hàm sin, cos.