HNI 12/9 - Chương 15: Cấp số cộng – Cấp số nhân
1. Mở đầu: Nhịp điệu của sự lặp lại
Trong thế giới Toán học, có những cấu trúc đơn giản đến mức khiến ta dễ dàng bỏ qua, nhưng chính chúng lại ẩn chứa sức mạnh bền bỉ để mô tả vô vàn hiện tượng trong tự nhiên và xã hội. Cấp số cộng và cấp số nhân là hai mô hình như vậy.
Một hạt cát rơi xuống, mỗi giây tăng thêm một hạt – đó là nhịp điệu của cấp số cộng. Một đồng vốn gửi ngân hàng sinh lãi, ngày qua ngày số tiền tăng theo lãi kép – đó là nhịp điệu của cấp số nhân. Hai tiến trình tưởng chừng khác nhau, nhưng lại là hai gương mặt của một khái niệm chung: sự lặp lại có quy luật.
Chúng ta sẽ đi vào khám phá chi tiết, từ định nghĩa, công thức, cho đến ứng dụng và triết lý ẩn sau những dãy số vô tận này.
2. Định nghĩa cơ bản
2.1. Cấp số cộng (CSC)
+(n−1)d]
2.2. Cấp số nhân (CSN)
Một dãy số
(
3. Minh họa trực quan
3.1. Cấp số cộng trong đời sống
Ngày đầu đi bộ 1 km, mỗi ngày tăng thêm 0,5 km. Sau 10 ngày, quãng đường hôm đó là bao nhiêu?
Một cầu thang có 20 bậc, mỗi bậc cao 15 cm. Bước lên bậc thứ 10, chiều cao đạt được là bao nhiêu?
Cả hai đều mô tả bằng công thức cấp số cộng.
3.2. Cấp số nhân trong đời sống
Một vi khuẩn cứ 20 phút nhân đôi. Sau 5 giờ, số lượng tăng thành bao nhiêu?
Một khoản vay lãi suất 10%/năm theo lãi kép, sau 10 năm số tiền tăng lên bao nhiêu?
Tất cả đều là cấp số nhân.
4. Bản chất toán học: Tuyến tính và lũy thừa
CSC có tính chất tuyến tính: các số hạng tăng theo bậc nhất của
n
n.
CSN lại mang bản chất lũy thừa: số hạng tăng (hoặc giảm) theo hàm mũ.
CSC giống như nhịp gõ đều đặn của một chiếc trống: cộc… cộc… cộc…
CSN giống như tiếng vang ngân dần lan rộng: bùng – bùng – bùng…
Sự khác biệt này khiến CSN tăng trưởng nhanh hơn nhiều so với CSC. Đó là lý do khi nói về dân số, công nghệ, hay vốn đầu tư, người ta thường nhấn mạnh: “Tốc độ tăng theo cấp số nhân”.
5. Các công thức biến đổi quan trọng
5.1. Trung bình cộng và trung bình nhân
Trong CSC, số hạng ở giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng đối xứng:
Điều này cho thấy: CSC mang tinh thần “cộng đồng” – cân bằng tuyến tính; CSN mang tinh thần “nhân bội” – cân bằng lũy thừa.
5.2. Liên hệ với dãy số khác
CSC chính là nghiệm của phương trình truy hồi tuyến tính bậc nhất có nghiệm tổng quát tuyến tính theo
n
n.
1. Mở đầu: Nhịp điệu của sự lặp lại
Trong thế giới Toán học, có những cấu trúc đơn giản đến mức khiến ta dễ dàng bỏ qua, nhưng chính chúng lại ẩn chứa sức mạnh bền bỉ để mô tả vô vàn hiện tượng trong tự nhiên và xã hội. Cấp số cộng và cấp số nhân là hai mô hình như vậy.
Một hạt cát rơi xuống, mỗi giây tăng thêm một hạt – đó là nhịp điệu của cấp số cộng. Một đồng vốn gửi ngân hàng sinh lãi, ngày qua ngày số tiền tăng theo lãi kép – đó là nhịp điệu của cấp số nhân. Hai tiến trình tưởng chừng khác nhau, nhưng lại là hai gương mặt của một khái niệm chung: sự lặp lại có quy luật.
Chúng ta sẽ đi vào khám phá chi tiết, từ định nghĩa, công thức, cho đến ứng dụng và triết lý ẩn sau những dãy số vô tận này.
2. Định nghĩa cơ bản
2.1. Cấp số cộng (CSC)
+(n−1)d]
2.2. Cấp số nhân (CSN)
Một dãy số
(
3. Minh họa trực quan
3.1. Cấp số cộng trong đời sống
Ngày đầu đi bộ 1 km, mỗi ngày tăng thêm 0,5 km. Sau 10 ngày, quãng đường hôm đó là bao nhiêu?
Một cầu thang có 20 bậc, mỗi bậc cao 15 cm. Bước lên bậc thứ 10, chiều cao đạt được là bao nhiêu?
Cả hai đều mô tả bằng công thức cấp số cộng.
3.2. Cấp số nhân trong đời sống
Một vi khuẩn cứ 20 phút nhân đôi. Sau 5 giờ, số lượng tăng thành bao nhiêu?
Một khoản vay lãi suất 10%/năm theo lãi kép, sau 10 năm số tiền tăng lên bao nhiêu?
Tất cả đều là cấp số nhân.
4. Bản chất toán học: Tuyến tính và lũy thừa
CSC có tính chất tuyến tính: các số hạng tăng theo bậc nhất của
n
n.
CSN lại mang bản chất lũy thừa: số hạng tăng (hoặc giảm) theo hàm mũ.
CSC giống như nhịp gõ đều đặn của một chiếc trống: cộc… cộc… cộc…
CSN giống như tiếng vang ngân dần lan rộng: bùng – bùng – bùng…
Sự khác biệt này khiến CSN tăng trưởng nhanh hơn nhiều so với CSC. Đó là lý do khi nói về dân số, công nghệ, hay vốn đầu tư, người ta thường nhấn mạnh: “Tốc độ tăng theo cấp số nhân”.
5. Các công thức biến đổi quan trọng
5.1. Trung bình cộng và trung bình nhân
Trong CSC, số hạng ở giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng đối xứng:
Điều này cho thấy: CSC mang tinh thần “cộng đồng” – cân bằng tuyến tính; CSN mang tinh thần “nhân bội” – cân bằng lũy thừa.
5.2. Liên hệ với dãy số khác
CSC chính là nghiệm của phương trình truy hồi tuyến tính bậc nhất có nghiệm tổng quát tuyến tính theo
n
n.
HNI 12/9 - 🌺Chương 15: Cấp số cộng – Cấp số nhân
1. Mở đầu: Nhịp điệu của sự lặp lại
Trong thế giới Toán học, có những cấu trúc đơn giản đến mức khiến ta dễ dàng bỏ qua, nhưng chính chúng lại ẩn chứa sức mạnh bền bỉ để mô tả vô vàn hiện tượng trong tự nhiên và xã hội. Cấp số cộng và cấp số nhân là hai mô hình như vậy.
Một hạt cát rơi xuống, mỗi giây tăng thêm một hạt – đó là nhịp điệu của cấp số cộng. Một đồng vốn gửi ngân hàng sinh lãi, ngày qua ngày số tiền tăng theo lãi kép – đó là nhịp điệu của cấp số nhân. Hai tiến trình tưởng chừng khác nhau, nhưng lại là hai gương mặt của một khái niệm chung: sự lặp lại có quy luật.
Chúng ta sẽ đi vào khám phá chi tiết, từ định nghĩa, công thức, cho đến ứng dụng và triết lý ẩn sau những dãy số vô tận này.
2. Định nghĩa cơ bản
2.1. Cấp số cộng (CSC)
+(n−1)d]
2.2. Cấp số nhân (CSN)
Một dãy số
(
3. Minh họa trực quan
3.1. Cấp số cộng trong đời sống
Ngày đầu đi bộ 1 km, mỗi ngày tăng thêm 0,5 km. Sau 10 ngày, quãng đường hôm đó là bao nhiêu?
Một cầu thang có 20 bậc, mỗi bậc cao 15 cm. Bước lên bậc thứ 10, chiều cao đạt được là bao nhiêu?
Cả hai đều mô tả bằng công thức cấp số cộng.
3.2. Cấp số nhân trong đời sống
Một vi khuẩn cứ 20 phút nhân đôi. Sau 5 giờ, số lượng tăng thành bao nhiêu?
Một khoản vay lãi suất 10%/năm theo lãi kép, sau 10 năm số tiền tăng lên bao nhiêu?
Tất cả đều là cấp số nhân.
4. Bản chất toán học: Tuyến tính và lũy thừa
CSC có tính chất tuyến tính: các số hạng tăng theo bậc nhất của
n
n.
CSN lại mang bản chất lũy thừa: số hạng tăng (hoặc giảm) theo hàm mũ.
CSC giống như nhịp gõ đều đặn của một chiếc trống: cộc… cộc… cộc…
CSN giống như tiếng vang ngân dần lan rộng: bùng – bùng – bùng…
Sự khác biệt này khiến CSN tăng trưởng nhanh hơn nhiều so với CSC. Đó là lý do khi nói về dân số, công nghệ, hay vốn đầu tư, người ta thường nhấn mạnh: “Tốc độ tăng theo cấp số nhân”.
5. Các công thức biến đổi quan trọng
5.1. Trung bình cộng và trung bình nhân
Trong CSC, số hạng ở giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng đối xứng:
Điều này cho thấy: CSC mang tinh thần “cộng đồng” – cân bằng tuyến tính; CSN mang tinh thần “nhân bội” – cân bằng lũy thừa.
5.2. Liên hệ với dãy số khác
CSC chính là nghiệm của phương trình truy hồi tuyến tính bậc nhất có nghiệm tổng quát tuyến tính theo
n
n.
Vietnam