HNI 13/9; 🌺CHƯƠNG 15: Cấp số cộng – Cấp số nhân 1. Mở đầu: Nhịp điệu của sự lặp lại Trong thế giới Toán học, có những cấu trúc đơn giản đến mức khiến ta dễ dàng bỏ qua, nhưng chính chúng lại ẩn chứa sức mạnh bền bỉ để mô tả vô vàn hiện tượng trong tự nhiên và xã hội. Cấp số cộng và cấp số nhân là hai mô hình như vậy. Một hạt cát rơi xuống, mỗi giây tăng thêm một hạt – đó là nhịp điệu của cấp số cộng. Một đồng vốn gửi ngân hàng sinh lãi, ngày qua ngày số tiền tăng theo lãi kép – đó là nhịp điệu của cấp số nhân. Hai tiến trình tưởng chừng khác nhau, nhưng lại là hai gương mặt của một khái niệm chung: sự lặp lại có quy luật. Chúng ta sẽ đi vào khám phá chi tiết, từ định nghĩa, công thức, cho đến ứng dụng và triết lý ẩn sau những dãy số vô tận này. 2. Định nghĩa cơ bản 2.1. Cấp số cộng (CSC) +(n−1)d] 2.2. Cấp số nhân (CSN) Một dãy số 3. Minh họa trực quan 3.1. Cấp số cộng trong đời sống Ngày đầu đi bộ 1 km, mỗi ngày tăng thêm 0,5 km. Sau 10 ngày, quãng đường hôm đó là bao nhiêu? Một cầu thang có 20 bậc, mỗi bậc cao 15 cm. Bước lên bậc thứ 10, chiều cao đạt được là bao nhiêu? Cả hai đều mô tả bằng công thức cấp số cộng. 3.2. Cấp số nhân trong đời sống Một vi khuẩn cứ 20 phút nhân đôi. Sau 5 giờ, số lượng tăng thành bao nhiêu? Một khoản vay lãi suất 10%/năm theo lãi kép, sau 10 năm số tiền tăng lên bao nhiêu? Tất cả đều là cấp số nhân. 4. Bản chất toán học: Tuyến tính và lũy thừa CSC có tính chất tuyến tính: các số hạng tăng theo bậc nhất của n n. CSN lại mang bản chất lũy thừa: số hạng tăng (hoặc giảm) theo hàm mũ. CSC giống như nhịp gõ đều đặn của một chiếc trống: cộc… cộc… cộc… CSN giống như tiếng vang ngân dần lan rộng: bùng – bùng – bùng… Sự khác biệt này khiến CSN tăng trưởng nhanh hơn nhiều so với CSC. Đó là lý do khi nói về dân số, công nghệ, hay vốn đầu tư, người ta thường nhấn mạnh: “Tốc độ tăng theo cấp số nhân”. 5. Các công thức biến đổi quan trọng 5.1. Trung bình cộng và trung bình nhân Trong CSC, số hạng ở giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng đối xứng: Điều này cho thấy: CSC mang tinh thần “cộng đồng” – cân bằng tuyến tính; CSN mang tinh thần “nhân bội” – cân bằng lũy thừa. 5.2. Liên hệ với dãy số khác CSC chính là nghiệm của phương trình truy hồi tuyến tính bậc nhất có nghiệm tổng quát tuyến tính theo n n. CSN chính là nghiệm của phương trình truy hồi nhân, dẫn đến dạng lũy thừa. Hai loại dãy này trở thành nền tảng cho việc nghiên cứu dãy Fibonacci, cấp số hỗn hợp, và thậm chí cả chuỗi Taylor. 6. Ứng dụng trong thực tiễn 6.1. Kinh tế và tài chính Tiền gửi ngân hàng có lãi kép → CSN. Tăng lương định kỳ một khoản cố định → CSC. 6.2. Kỹ thuật và vật lý Sóng âm, sóng điện từ: biên độ dao động suy giảm theo cấp số nhân. Lượng chất phóng xạ phân rã: giảm theo CSN với công bội nhỏ hơn 1. 6.3. Sinh học Dân số vi sinh vật, sự sinh trưởng của tế bào: điển hình của CSN. Sự tích lũy dưỡng chất theo từng ngày: có thể là CSC. 6.4. Khoa học máy tính Thuật toán chia đôi, tìm kiếm nhị phân: số bước tăng theo lũy thừa. Bộ nhớ RAM, dung lượng ổ cứng qua các thế hệ tăng trưởng theo CSN. 7. Triết lý của cấp số cộng và cấp số nhân 7.1. Bước đi đều đặn – tinh thần cấp số cộng CSC nhắc nhở ta rằng: tích lũy từng chút, đều đặn, cũng đủ để thay đổi lớn. Mỗi ngày đọc thêm vài trang sách, sau một năm ta có thể đọc hết cả thư viện nhỏ. Đây là triết lý của sự kiên trì: không cần nhảy vọt, chỉ cần tiến đều.