HNI 15/9: 💎Phần IV. Xác Suất & Thống Kê (Chương 31 – 35) 🌺CHƯƠNG 31: Biến cố và xác suất 1. Mở đầu – Khi sự ngẫu nhiên trở thành khoa học Trong đời sống hằng ngày, con người luôn đối diện với sự bất định: thời tiết ngày mai sẽ mưa hay nắng, việc tung một đồng xu ra mặt sấp hay ngửa, một lá thăm bốc trúng hay không. Những hiện tượng này dường như không thể đoán chắc, nhưng chúng không hề vô trật tự. Ẩn dưới lớp sương mù của ngẫu nhiên là quy luật xác suất – một bộ môn khoa học định lượng sự bất định. Xác suất không chỉ là trò may rủi trong sòng bạc. Nó là nền tảng của thống kê học, của khoa học dữ liệu, của trí tuệ nhân tạo, của tài chính – bảo hiểm, và thậm chí cả trong việc dự đoán tương lai của xã hội. Để hiểu xác suất, ta phải bắt đầu từ khái niệm cơ bản nhất: biến cố và cách đo lường khả năng xảy ra của nó. 2. Khái niệm biến cố 2.1. Phép thử ngẫu nhiên Một phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một quá trình mà kết quả không thể biết chắc trước khi thực hiện. Ví dụ: Tung một con xúc xắc. Bốc một lá bài trong bộ 52 lá. Khảo sát xem một người chọn thương hiệu nào trong siêu thị. Kết quả của phép thử gọi là kết quả khả dĩ. Tập hợp tất cả các kết quả khả dĩ được gọi là không gian mẫu (ký hiệu: Ω). Ví dụ: Tung một đồng xu, ta có Ω = {Sấp, Ngửa}. 2.2. Biến cố Một biến cố là một tập con của không gian mẫu. Nó diễn tả một hiện tượng nào đó liên quan đến phép thử. Biến cố A: “đồng xu ra mặt sấp” → A = {Sấp}. Biến cố B: “xúc xắc ra số chẵn” → B = {2, 4, 6}. Biến cố chắc chắn (Ω): hiện tượng luôn xảy ra. Biến cố không thể (∅): hiện tượng không bao giờ xảy ra. Biến cố có thể đơn giản (chỉ gồm một kết quả) hoặc phức tạp (gồm nhiều kết quả). 3. Các phép toán trên biến cố Giống như trong tập hợp học, các biến cố cũng có thể kết hợp với nhau bằng những phép toán logic. 3.1. Hợp (A ∪ 😎 Biến cố A ∪ B xảy ra khi A hoặc B xảy ra. Ví dụ: Tung xúc xắc, A: số chẵn, B: số lớn hơn 4. Khi đó A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {5, 6} = {2, 4, 5, 6}. 3.2. Giao (A ∩ 😎 Biến cố A ∩ B xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra. Ví dụ: Như trên, A ∩ B = {6}. 3.3. Hiệu (A \ 😎 Biến cố A \ B xảy ra khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. 3.4. Phủ định (A̅) Biến cố đối A̅ xảy ra khi A không xảy ra. Nếu A: “đồng xu ra sấp”, thì A̅: “đồng xu ra ngửa”. 3.5. Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu A ∩ B = ∅, tức là không thể xảy ra đồng thời. 4. Khái niệm xác suất 4.1. Định nghĩa cổ điển Nếu không gian mẫu Ω có hữu hạn kết quả, và các kết quả đều đồng khả năng, thì: Ví dụ: Tung một đồng xu, P(Sấp) = 1/2. 4.2. Định nghĩa theo tần suất Khi thực hiện phép thử nhiều lần (n → ∞), tần suất xuất hiện của biến cố A tiến gần đến một giá trị ổn định gọi là xác suất của A: Trong đó nA là số lần A xảy ra. 4.3. Định nghĩa hiện đại (Kolmogorov) Trong toán học hiện đại, xác suất được định nghĩa như một đo lường (measure) trên không gian mẫu: P(Ω) = 1 P(A) ≥ 0 Nếu A1, A2, … là các biến cố xung khắc thì 5. Tính chất của xác suất P(Ω)=1 P(A̅) = 1 - P(A) Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B) Công thức cộng: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 6. Xác suất có điều kiện Trong nhiều tình huống, xác suất của một biến cố phụ thuộc vào việc biến cố khác đã xảy ra. Định nghĩa: u P(B) > 0) P(A∣B)= P(B) P(A∩B) u P(B) > 0) Ví dụ: Lấy ngẫu nhiên một lá từ bộ bài 52 lá. Biến cố A: “lá đỏ”, B: “lá át”. Khi biết lá bốc ra là át (B), xác suất nó là át đỏ: 7. Quy tắc nhân xác suất Nếu A và B là hai biến cố, thì: P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)=P(B)⋅P(A∣B) Trường hợp A và B độc lập (A không ảnh hưởng đến B): P(A∩B)=P(A)⋅P(B) 8. Công thức toàn xác suất và Bayes 8.1. Công thức toàn xác suất Giả sử H1, H2, …, Hn là một hệ đầy đủ biến cố (các H_i loại trừ nhau và H1 ∪ H2 ∪ … ∪ Hn = Ω).