HNI 13/9 - Chương 17. Đạo hàm – công cụ của sự biến thiên
1. Mở đầu: Khi vạn vật luôn chuyển động
Trong thế giới quanh ta, chẳng có gì đứng yên. Trái đất quay quanh Mặt Trời, dòng sông chảy xuôi về biển, chiếc xe tăng tốc trên đường, và ngay cả nhịp tim trong lồng ngực cũng không bao giờ giữ một giá trị bất biến. Toán học không chỉ mô tả những con số, nó còn đi sâu vào bản chất của sự biến thiên – tức là sự thay đổi liên tục của mọi hiện tượng.
Đạo hàm chính là công cụ kỳ diệu mà loài người đã sáng tạo để nắm bắt, đo lường và hiểu rõ những biến thiên ấy. Nó giống như một chiếc kính hiển vi giúp ta nhìn thấy tốc độ thay đổi tại từng khoảnh khắc vô cùng nhỏ, nơi mà mắt thường không thể nhận ra.
Nếu không có khái niệm đạo hàm, ta sẽ không thể giải thích tại sao vận tốc của chiếc xe tại một giây cụ thể lại bằng con số hiển thị trên đồng hồ, hay tại sao trong kinh tế học, sự thay đổi nhỏ trong chi phí sản xuất lại ảnh hưởng mạnh đến lợi nhuận.
Đạo hàm vừa là công cụ toán học, vừa là ngôn ngữ của sự vận động.
2. Khái niệm trực giác: Đạo hàm là vận tốc tức thời
Hãy tưởng tượng bạn đang đi xe máy trên một con đường dài. Trên bảng đồng hồ, bạn thấy kim tốc độ dao động quanh 40 km/h – 50 km/h. Nhưng bạn tự hỏi: “Ở đúng giây thứ 30, vận tốc của mình là bao nhiêu?”
Nếu ta lấy tổng quãng đường chia cho tổng thời gian thì chỉ ra vận tốc trung bình. Nhưng để biết chính xác tại một thời điểm, ta cần một khái niệm mạnh mẽ hơn: đó chính là đạo hàm.
Đạo hàm tại một điểm cho ta biết tốc độ thay đổi của hàm số tại đúng điểm đó.
Với hàm số vị trí
s
′
(t) chính là gia tốc – sự thay đổi của vận tốc theo thời gian.
Đạo hàm vì thế trở thành chiếc “máy đo biến thiên” của mọi đại lượng.
3. Định nghĩa toán học: Giới hạn và đạo hàm
Trực giác là vậy, nhưng toán học đòi hỏi một công cụ chính xác. Đạo hàm của hàm số
f
(
Đây chính là tỷ số vi phân giữa sự thay đổi của hàm số so với sự thay đổi của biến số khi khoảng cách
h
h tiến về 0.
Nếu giới hạn tồn tại, ta nói hàm số khả vi tại
x
0
x
0
.
Nếu giới hạn không tồn tại, nghĩa là sự biến thiên quá “gấp khúc” để có thể đo bằng đạo hàm.
1. Mở đầu: Khi vạn vật luôn chuyển động
Trong thế giới quanh ta, chẳng có gì đứng yên. Trái đất quay quanh Mặt Trời, dòng sông chảy xuôi về biển, chiếc xe tăng tốc trên đường, và ngay cả nhịp tim trong lồng ngực cũng không bao giờ giữ một giá trị bất biến. Toán học không chỉ mô tả những con số, nó còn đi sâu vào bản chất của sự biến thiên – tức là sự thay đổi liên tục của mọi hiện tượng.
Đạo hàm chính là công cụ kỳ diệu mà loài người đã sáng tạo để nắm bắt, đo lường và hiểu rõ những biến thiên ấy. Nó giống như một chiếc kính hiển vi giúp ta nhìn thấy tốc độ thay đổi tại từng khoảnh khắc vô cùng nhỏ, nơi mà mắt thường không thể nhận ra.
Nếu không có khái niệm đạo hàm, ta sẽ không thể giải thích tại sao vận tốc của chiếc xe tại một giây cụ thể lại bằng con số hiển thị trên đồng hồ, hay tại sao trong kinh tế học, sự thay đổi nhỏ trong chi phí sản xuất lại ảnh hưởng mạnh đến lợi nhuận.
Đạo hàm vừa là công cụ toán học, vừa là ngôn ngữ của sự vận động.
2. Khái niệm trực giác: Đạo hàm là vận tốc tức thời
Hãy tưởng tượng bạn đang đi xe máy trên một con đường dài. Trên bảng đồng hồ, bạn thấy kim tốc độ dao động quanh 40 km/h – 50 km/h. Nhưng bạn tự hỏi: “Ở đúng giây thứ 30, vận tốc của mình là bao nhiêu?”
Nếu ta lấy tổng quãng đường chia cho tổng thời gian thì chỉ ra vận tốc trung bình. Nhưng để biết chính xác tại một thời điểm, ta cần một khái niệm mạnh mẽ hơn: đó chính là đạo hàm.
Đạo hàm tại một điểm cho ta biết tốc độ thay đổi của hàm số tại đúng điểm đó.
Với hàm số vị trí
s
′
(t) chính là gia tốc – sự thay đổi của vận tốc theo thời gian.
Đạo hàm vì thế trở thành chiếc “máy đo biến thiên” của mọi đại lượng.
3. Định nghĩa toán học: Giới hạn và đạo hàm
Trực giác là vậy, nhưng toán học đòi hỏi một công cụ chính xác. Đạo hàm của hàm số
f
(
Đây chính là tỷ số vi phân giữa sự thay đổi của hàm số so với sự thay đổi của biến số khi khoảng cách
h
h tiến về 0.
Nếu giới hạn tồn tại, ta nói hàm số khả vi tại
x
0
x
0
.
Nếu giới hạn không tồn tại, nghĩa là sự biến thiên quá “gấp khúc” để có thể đo bằng đạo hàm.
HNI 13/9 - 🌺Chương 17. Đạo hàm – công cụ của sự biến thiên
1. Mở đầu: Khi vạn vật luôn chuyển động
Trong thế giới quanh ta, chẳng có gì đứng yên. Trái đất quay quanh Mặt Trời, dòng sông chảy xuôi về biển, chiếc xe tăng tốc trên đường, và ngay cả nhịp tim trong lồng ngực cũng không bao giờ giữ một giá trị bất biến. Toán học không chỉ mô tả những con số, nó còn đi sâu vào bản chất của sự biến thiên – tức là sự thay đổi liên tục của mọi hiện tượng.
Đạo hàm chính là công cụ kỳ diệu mà loài người đã sáng tạo để nắm bắt, đo lường và hiểu rõ những biến thiên ấy. Nó giống như một chiếc kính hiển vi giúp ta nhìn thấy tốc độ thay đổi tại từng khoảnh khắc vô cùng nhỏ, nơi mà mắt thường không thể nhận ra.
Nếu không có khái niệm đạo hàm, ta sẽ không thể giải thích tại sao vận tốc của chiếc xe tại một giây cụ thể lại bằng con số hiển thị trên đồng hồ, hay tại sao trong kinh tế học, sự thay đổi nhỏ trong chi phí sản xuất lại ảnh hưởng mạnh đến lợi nhuận.
Đạo hàm vừa là công cụ toán học, vừa là ngôn ngữ của sự vận động.
2. Khái niệm trực giác: Đạo hàm là vận tốc tức thời
Hãy tưởng tượng bạn đang đi xe máy trên một con đường dài. Trên bảng đồng hồ, bạn thấy kim tốc độ dao động quanh 40 km/h – 50 km/h. Nhưng bạn tự hỏi: “Ở đúng giây thứ 30, vận tốc của mình là bao nhiêu?”
Nếu ta lấy tổng quãng đường chia cho tổng thời gian thì chỉ ra vận tốc trung bình. Nhưng để biết chính xác tại một thời điểm, ta cần một khái niệm mạnh mẽ hơn: đó chính là đạo hàm.
Đạo hàm tại một điểm cho ta biết tốc độ thay đổi của hàm số tại đúng điểm đó.
Với hàm số vị trí
s
′
(t) chính là gia tốc – sự thay đổi của vận tốc theo thời gian.
Đạo hàm vì thế trở thành chiếc “máy đo biến thiên” của mọi đại lượng.
3. Định nghĩa toán học: Giới hạn và đạo hàm
Trực giác là vậy, nhưng toán học đòi hỏi một công cụ chính xác. Đạo hàm của hàm số
f
(
Đây chính là tỷ số vi phân giữa sự thay đổi của hàm số so với sự thay đổi của biến số khi khoảng cách
h
h tiến về 0.
Nếu giới hạn tồn tại, ta nói hàm số khả vi tại
x
0
x
0
.
Nếu giới hạn không tồn tại, nghĩa là sự biến thiên quá “gấp khúc” để có thể đo bằng đạo hàm.
Vietnam