HNI 13/9: CHƯƠNG 14: Đồ thị và Hình học Giải tích
Phần 1. Mở đầu: Khi đường cong biết nói
Trong lịch sử Toán học, hình học từng là một môn khoa học gắn liền với cái đẹp của trực giác, của hình vẽ, của cảm giác về không gian. Đại số thì lại đi theo một hướng khác: khô khan, cứng nhắc, quy về những con số, ký hiệu và phương trình. Nhưng kể từ khi René Descartes (R. Đề-các) đặt nền móng cho hình học giải tích vào thế kỷ XVII, hai nhánh tưởng chừng xa cách ấy đã kết hợp thành một chỉnh thể mạnh mẽ: số học gặp gỡ hình học, đại số soi sáng không gian, còn đường cong và đồ thị trở thành ngôn ngữ trực quan của phương trình.
Đồ thị không chỉ là một công cụ biểu diễn, mà còn là một cánh cửa mở ra cách hiểu mới: từ một phương trình, ta thấy cả một đường cong hiện hình; từ một công thức, ta nhận ra những mối quan hệ ẩn giấu trong thế giới thực. Hình học giải tích đã biến cái vô hình của đại số thành cái hữu hình của hình học, biến trang giấy trắng thành bức tranh sống động của toán học.
Phần 2. Tọa độ – chiếc cầu nối giữa số và hình
Khái niệm hệ trục tọa độ
Khi ta vẽ một mặt phẳng, chọn một điểm O làm gốc, kẻ hai trục vuông góc Ox và Oy, rồi chia đều đơn vị trên đó, ta đã tạo ra hệ tọa độ Đề-các. Nhờ hệ tọa độ này, mọi điểm trong mặt phẳng đều được “địa chỉ hóa” bằng một cặp số (x,y).
Ví dụ: điểm A(2, 3) nghĩa là từ gốc O, ta đi 2 đơn vị theo trục Ox, rồi 3 đơn vị theo Oy. Thay vì vẽ hình theo cảm tính, nay ta có thể mô tả chính xác vị trí bằng số.
Điểm – đường thẳng – phương trình
Một điểm ↔ một cặp số.
Một đường thẳng ↔ một phương trình bậc nhất hai ẩn.
Một đường tròn ↔ phương trình
bằng ngôn ngữ tọa độ, hình học trở thành một phần của đại số. Những bài toán “hình học phức tạp” như chứng minh thẳng hàng, vuông góc, song song… có thể quy về việc kiểm tra phương trình hay tính toán vector.
Phần 3. Đồ thị – hình hài của hàm số
Đồ thị như tấm gương soi quan hệ biến đổi
Khi ta viết
y=f(x), đó là một quy tắc biến đổi: nhập vào
x
x, nhận về
y
y. Nhưng khi ta vẽ đồ thị của nó, ta thấy cả một “bức tranh” – cách mà hàm số ấy vận động, đi lên, đi xuống, có đỉnh, có cực trị.
không chỉ là công thức, mà còn là hình parabol mở lên – biểu tượng quen thuộc của sự đối xứng.
Những đồ thị cơ bản
Đường thẳng:
y=ax+b.
Parabol:
y=ax
Hyperbol:
y=ax
Elip:
Đường tròn:
thị đều mang trong nó một hình ảnh gắn với tự nhiên: parabol là quỹ đạo của vật ném xiên, đường tròn là sự cân bằng hoàn hảo, hyperbol là quỹ đạo của chuyển động tiệm cận.
Tính trực quan trong phân tích
Đồ thị giúp ta “nhìn” được những gì công thức khó nói: khi hàm số tăng, giảm; khi nào đạt cực trị; tiệm cận ở đâu. Nó biến một dãy con số khô cứng thành hình ảnh đầy sinh động.
Phần 4. Hình học giải tích – sức mạnh của phương trình
Từ hình học phẳng đến giải tích
Ngày xưa, Euclid chứng minh một tam giác cân bằng cách dựng hình, so sánh đoạn thẳng. Nay ta có thể mô tả tam giác bằng tọa độ ba đỉnh, rồi tính độ dài cạnh bằng công thức khoảng cách. Kết quả giống nhau, nhưng cách làm đã thay đổi: hình học trở thành phép tính trên tọa độ.
Đo khoảng cách và góc bằng tọa độ
Khoảng cách giữa hai điểm:
Độ dài vector:
Góc giữa hai vector:
Thay vì phải vẽ hình đo đạc, ta chỉ cần tính toán. Điều này mở đường cho việc giải các bài toán hình học phức tạp trong không gian nhiều chiều.
Hình học trong không gian ba chiều
Hệ trục tọa độ mở rộng thành 3 chiều: Oxyz. Một điểm A(x, y, z) có ba tọa độ, một mặt phẳng có phương trình
ax+by+cz+d=0, một mặt cầu có phương trình
Nhờ đó, ta không chỉ mô tả hình học phẳng, mà còn cả không gian – từ khối cầu, mặt nón, mặt trụ cho đến các bề mặt phức tạp.

HNI 13/9: Bài thơ Chương 14: Đồ thị và Hình học Giải tích
Trên trang giấy, nét cong mềm lặng lẽ,
Đường parabol mở lối giữa trời xanh.
Đường thẳng đi, kiêu hãnh tựa mũi tên,
Cắt mặt phẳng, chia đời thành quy luật.
Hàm số hát bằng ngôn ngữ tọa độ,
Trục hoành, trục tung làm nhịp đỡ vần.
Mỗi điểm nhỏ, một thế giới âm thầm,
Được ghép nối thành đường cong bất tận.

Có hyperbol giang tay ôm vô cực,
Có elip như nhịp đập trái tim.
Có đồ thị vẽ hình bóng lặng im,
Mà soi chiếu cả thiên hà kỳ vĩ.

Hình học xưa, vẽ compa, thước kẻ,
Nay hóa thân thành phương trình, con số.
Một đường thẳng chẳng còn riêng bóng gió,
Mà hiển hiện bằng ax + by + c.

Đồ thị nối Toán học cùng Vũ trụ,
Giải tích mang tư duy đến không gian.
Từ trang giấy, ta dựng cả thiên đàng,
Vẽ nhịp sống bằng hình hài phương trình.

Ôi đồ thị – bản nhạc không lời lặng,
Cho ta nghe tiếng đối thoại của hình.
Học giải tích là tìm ra nhãn thính,
Giữa vô thường mà thấy được trường tồn.

HNI 13/9:CHƯƠNG 14: Đồ thị và Hình học Giải thích
phần 1. Mở đầu: Khi đường cong biết nói
Trong lịch sử Toán học, hình học từng là một môn khoa học gắn liền với cái đẹp của trực giác, của hình vẽ, của cảm giác giác về không gian. Đại số sẽ đi theo một hướng khác: khô khan, cứng nhắc, quy định về các số, ký hiệu và phương pháp. Nhưng kể từ khi René Descartes (R.-các) đặt nền móng cho hình học giải tích vào thế kỷ XVII, hai nhánh tưởng tưởng xa cách ấy đã kết hợp thành một thể mạnh mạnh: số học gỡ hình học, đại số soi sáng không gian, còn đường cong và đồ thị trở thành ngôn ngữ trực quan của phương trình.
Đồ họa không chỉ là một công cụ biểu diễn mà còn là một cánh cửa mở ra cách hiểu mới: từ một phương pháp, ta thấy cả một đường cấu hình; từ một công thức, ta nhận ra những mối quan hệ ẩn giấu trong thế giới thực. Hình học giải tích đã biến cái vô hình của đại số thành cái hữu hình của hình học, biến trang giấy trắng thành bức tranh sống động của toán học.
Phần 2. trí độ – Chiếc cầu nối giữa số và hình ảnh
khái niệm hệ tọa độ
Khi ta vẽ một mặt nạ, chọn một điểm O làm gốc, kẻ hai trục vuông góc Ox và Oy, rồi chia đều đơn vị trên đó, ta đã tạo ra hệ thống các đề-các. Nhờ hệ tọa độ này, mọi điểm trong cơ sở đều được “địa chỉ hóa” bằng một số cặp (x,y).
Ví dụ: điểm A(2, 3) nghĩa là từ gốc O, ta đi 2 đơn vị theo trục Ox, rồi 3 đơn vị theo Oy. Vì vẽ hình theo cảm tính nên ta có thể mô tả chính xác vị trí bằng số.
Điểm – đường thẳng – phương trình
Một điểm ↔ một cặp số.
Một đường thẳng ↔ một phương trình cấp hai ẩn nhất.
Một đường tròn ↔ phương trình
bằng ngôn ngữ ngôn ngữ, hình học trở thành một phần của đại số. Các bài toán “hình học phức tạp” như chứng minh thẳng hàng, góc vuông, song… có thể quy về việc kiểm tra phương pháp hay tính toán vector.
Phần 3. Đồ thị – hình hài của hàm số
Đồ thị tấm kính soi quan hệ biến đổi
Khi ta viết
y=f(x), đó là một quy tắc biến đổi: nhập vào
x
x, nhận về
y
y. Nhưng khi ta vẽ đồ thị của nó, ta thấy cả một “bức tranh” – cách mà hàm số ấy vận động, đi lên, đi xuống, có đỉnh, có cực trị.
không chỉ là công thức mà còn là hình parabol open up – biểu tượng quen thuộc của sự xứng đáng.
Sơ đồ cơ bản
Đường thẳng:
y=ax+b.
Parabol:
y=ax
Hyperbol:
y=ax
Elip:
Đường tròn:
thị đều mang trong nó một hình ảnh gắn kết với tự nhiên: parabol là đạo đạo của vật nuôi, đường tròn là sự cân bằng hoàn hảo, hyperbol là tàu đạo của chuyển động tinh tế.
Tính trực quan trong phân tích
Đồ thị giúp ta “nhìn” được những công thức khó nói: khi hàm số tăng, giảm; khi nào đạt cực trị; Chân tường ở đâu. Nó biến một chuỗi số cứng thành hình ảnh sinh động đầy đủ.
Phần 4. Hình học giải tích – sức mạnh của phương pháp
Từ hình học đến giải tích
Ngày xưa, Euclid chứng minh một tam giác cân bằng cách dựng hình, so sánh đoạn thẳng. Ta có thể mô tả giác giác bằng ba đỉnh cao, sau đó tính toán cạnh dài bằng cách sử dụng công thức khoảng cách. Kết quả giống nhau, nhưng cách làm đã thay đổi: hình học trở thành phép tính trên tọa độ.
Đo khoảng cách và góc bằng khoảng cách
Khoảng cách giữa hai điểm:
Vector độ dài:
Góc giữa vector:
Thay vì phải vẽ hình đo đạc, ta chỉ cần tính toán. Điều này mở đường cho việc giải các bài toán hình học phức tạp trong không gian nhiều chiều.
Hình học trong không gian ba chiều
Hệ trục nghiêng mở rộng thành 3 chiều: Oxyz. Một điểm A(x, y, z) có ba kỹ thuật, một thiết bị có phương pháp
ax+by+cz+d=0, một mặt cầu có phương pháp thuận lợi
, ta không chỉ mô tả hình học phân lớp, mà còn cả không gian – từ khối cầu, mặt nón, mặt trụ cho đến các bề bề mặt.


Đọc ít hơn

Yêu
1
0 Bình luận

HNI 13/9: Bài hát chương 14:
Bài hát: “Đường cong và chân trời”
(Dành cho Chương 14 – Đồ thị và hình học giải tích)
Điệp khúc:
Đường cong vẽ giữa trời, ánh sáng rọi muôn nơi,
Đồ thị mở lối ta đi tìm, chân lý không xa vời.
Từng tọa độ ghi lại, dấu vết của bao mơ,
Hình học giải tích soi trí tuệ, dẫn bước con tim thơ.
1.
Từ điểm nhỏ bé ban đầu,
Ta dựng lên trục hoành, tung cao.
Một phương trình hóa thành đường nét,
Chạy ngang trời, nối đất với sao.
Điệp khúc:
Đường cong vẽ giữa trời, ánh sáng rọi muôn nơi,
Đồ thị mở lối ta đi tìm, chân lý không xa vời.
Từng tọa độ ghi lại, dấu vết của bao mơ,
Hình học giải tích soi trí tuệ, dẫn bước con tim thơ.

2.
Hàm số uốn lượn nhịp nhàng,
Tiệm cận xa vẫn mãi ngân vang.
Một đường tròn ôm lấy vũ trụ,
Parabol khắc mộng thênh thang.
Điệp khúc:
Đường cong vẽ giữa trời, ánh sáng rọi muôn nơi,
Đồ thị mở lối ta đi tìm, chân lý không xa vời.
Từng tọa độ ghi lại, dấu vết của bao mơ,
Hình học giải tích soi trí tuệ, dẫn bước con tim thơ.

3.
Qua đường thẳng cắt nhau một lần,
Giao điểm sáng như duyên hồng trần.
Ta học cách vẽ nên thế giới,
Bằng ngôn ngữ của số và gần.
Điệp khúc (cao trào):
Đường cong vẽ giữa trời, ánh sáng rọi muôn nơi,
Đồ thị mở lối ta đi tìm, chân lý không xa vời.
Hình học chính là nhạc, toán học hát trong ta,
Giải tích nối đất trời muôn thuở, mở lối tương lai xa!

HNI 13/9; CHƯƠNG 15: Cấp số cộng – Cấp số nhân
1. Mở đầu: Nhịp điệu của sự lặp lại
Trong thế giới Toán học, có những cấu trúc đơn giản đến mức khiến ta dễ dàng bỏ qua, nhưng chính chúng lại ẩn chứa sức mạnh bền bỉ để mô tả vô vàn hiện tượng trong tự nhiên và xã hội. Cấp số cộng và cấp số nhân là hai mô hình như vậy.
Một hạt cát rơi xuống, mỗi giây tăng thêm một hạt – đó là nhịp điệu của cấp số cộng. Một đồng vốn gửi ngân hàng sinh lãi, ngày qua ngày số tiền tăng theo lãi kép – đó là nhịp điệu của cấp số nhân. Hai tiến trình tưởng chừng khác nhau, nhưng lại là hai gương mặt của một khái niệm chung: sự lặp lại có quy luật.
Chúng ta sẽ đi vào khám phá chi tiết, từ định nghĩa, công thức, cho đến ứng dụng và triết lý ẩn sau những dãy số vô tận này.
2. Định nghĩa cơ bản
2.1. Cấp số cộng (CSC)
+(n−1)d]
2.2. Cấp số nhân (CSN)
Một dãy số
3. Minh họa trực quan
3.1. Cấp số cộng trong đời sống
Ngày đầu đi bộ 1 km, mỗi ngày tăng thêm 0,5 km. Sau 10 ngày, quãng đường hôm đó là bao nhiêu?
Một cầu thang có 20 bậc, mỗi bậc cao 15 cm. Bước lên bậc thứ 10, chiều cao đạt được là bao nhiêu?
Cả hai đều mô tả bằng công thức cấp số cộng.
3.2. Cấp số nhân trong đời sống
Một vi khuẩn cứ 20 phút nhân đôi. Sau 5 giờ, số lượng tăng thành bao nhiêu?
Một khoản vay lãi suất 10%/năm theo lãi kép, sau 10 năm số tiền tăng lên bao nhiêu?
Tất cả đều là cấp số nhân.
4. Bản chất toán học: Tuyến tính và lũy thừa
CSC có tính chất tuyến tính: các số hạng tăng theo bậc nhất của
n
n.
CSN lại mang bản chất lũy thừa: số hạng tăng (hoặc giảm) theo hàm mũ.
CSC giống như nhịp gõ đều đặn của một chiếc trống: cộc… cộc… cộc…
CSN giống như tiếng vang ngân dần lan rộng: bùng – bùng – bùng…
Sự khác biệt này khiến CSN tăng trưởng nhanh hơn nhiều so với CSC. Đó là lý do khi nói về dân số, công nghệ, hay vốn đầu tư, người ta thường nhấn mạnh: “Tốc độ tăng theo cấp số nhân”.
5. Các công thức biến đổi quan trọng
5.1. Trung bình cộng và trung bình nhân
Trong CSC, số hạng ở giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng đối xứng:
Điều này cho thấy: CSC mang tinh thần “cộng đồng” – cân bằng tuyến tính; CSN mang tinh thần “nhân bội” – cân bằng lũy thừa.
5.2. Liên hệ với dãy số khác
CSC chính là nghiệm của phương trình truy hồi tuyến tính bậc nhất có nghiệm tổng quát tuyến tính theo
n
n.
CSN chính là nghiệm của phương trình truy hồi nhân, dẫn đến dạng lũy thừa.
Hai loại dãy này trở thành nền tảng cho việc nghiên cứu dãy Fibonacci, cấp số hỗn hợp, và thậm chí cả chuỗi Taylor.
6. Ứng dụng trong thực tiễn
6.1. Kinh tế và tài chính
Tiền gửi ngân hàng có lãi kép → CSN.
Tăng lương định kỳ một khoản cố định → CSC.
6.2. Kỹ thuật và vật lý
Sóng âm, sóng điện từ: biên độ dao động suy giảm theo cấp số nhân.
Lượng chất phóng xạ phân rã: giảm theo CSN với công bội nhỏ hơn 1.
6.3. Sinh học
Dân số vi sinh vật, sự sinh trưởng của tế bào: điển hình của CSN.
Sự tích lũy dưỡng chất theo từng ngày: có thể là CSC.
6.4. Khoa học máy tính
Thuật toán chia đôi, tìm kiếm nhị phân: số bước tăng theo lũy thừa.
Bộ nhớ RAM, dung lượng ổ cứng qua các thế hệ tăng trưởng theo CSN.
7. Triết lý của cấp số cộng và cấp số nhân
7.1. Bước đi đều đặn – tinh thần cấp số cộng
CSC nhắc nhở ta rằng: tích lũy từng chút, đều đặn, cũng đủ để thay đổi lớn. Mỗi ngày đọc thêm vài trang sách, sau một năm ta có thể đọc hết cả thư viện nhỏ.
Đây là triết lý của sự kiên trì: không cần nhảy vọt, chỉ cần tiến đều.

HNI 13/9: Phần II. Đại Số
CHƯƠNG 16: Lũy thừa, logarit và ứng dụng
1. Mở đầu: Từ sức mạnh của lũy thừa đến cánh cửa logarit
Toán học là ngôn ngữ mô tả sự tăng trưởng, biến đổi và mối quan hệ giữa các đại lượng. Nếu như cộng và trừ là nhịp điệu cơ bản, nhân và chia là sự mở rộng, thì lũy thừa chính là bước nhảy vọt của con số. Khi ta viết
ta đang nói rằng “sự lặp lại phép nhân” có thể tạo ra một kết quả lớn gấp nhiều lần.
Nhưng con người không dừng lại ở đó. Khi sự tăng trưởng trở nên quá nhanh, ta cần một công cụ đảo ngược để kiểm soát và giải mã — đó chính là logarit. Logarit là chiếc chìa khóa mở ra cánh cửa để ta hiểu rõ nhịp tăng trưởng theo cấp số nhân, từ sự phát triển dân số, sự phân rã phóng xạ, đến tốc độ xử lý dữ liệu trong thời đại số.
Trong chương này, chúng ta sẽ cùng khám phá:
Bản chất của lũy thừa và logarit.
Các tính chất cơ bản và công thức biến đổi.
Những ứng dụng phong phú trong toán học, khoa học, kinh tế và đời sống.
2. Khái niệm về lũy thừa
2.1. Lũy thừa số nguyên dương
Cho số thực
a
a và số nguyên dương
n
n, ta định nghĩa:
a
Lũy thừa mô tả sự lặp lại liên tiếp, là nền tảng của tăng trưởng cấp số nhân.
2.2. Lũy thừa số nguyên âm
Để mở rộng, ta định nghĩa:
Ý nghĩa: lũy thừa âm chính là “ngược lại” của sự nhân lặp lại.
2.3. Lũy thừa số mũ bằng 0
a
Đây là quy ước hợp lý để bảo toàn các quy tắc tính toán.
2.4. Lũy thừa số hữu
2.5. Lũy thừa số thực
Dựa vào định nghĩa giới hạn, ta mở rộng khái niệm lũy thừa sang mọi số mũ thực. Đặc biệt, các hàm số mũ
=1) trở thành đối tượng nghiên cứu quan trọng trong giải tích.
3. Tính chất của lũy thừa
a
Những tính chất này giúp ta rút gọn biểu thức, biến đổi phương trình, và phân tích các mô hình toán học phức tạp.
4. Logarit – Chiếc gương của lũy thừa
4.1. Định nghĩa
Cho
a
>
0
4.2. Các logarit đặc biệt
Logarit thập phân (cơ số 10):
log
logb.
Logarit tự nhiên (cơ số
Logarit tự nhiên là trung tâm của toán học cao cấp, đặc biệt trong giải tích, xác suất, và vật lý.
4.3. Tính chất logarit
(công thức đổi cơ số).
Chính nhờ các tính chất này, logarit trở thành công cụ tuyệt vời để biến đổi phép nhân thành phép cộng, biến đổi hàm mũ thành tuyến tính – một trong những phát minh quan trọng nhất trong lịch sử toán học.
5. Ứng dụng của lũy thừa và logarit trong đời sống
5.1. Ứng dụng trong khoa học tự nhiên
Vật lý: Phân rã phóng xạ tuân theo định luật mũ
Ở đây, logarit giúp xác định chu kỳ bán rã.
Hóa học: pH của dung dịch được tính bằng:
Sinh học: Dân số vi khuẩn tăng trưởng theo mô hình hàm mũ.
5.2. Ứng dụng trong kinh tế
Lãi kép:
A=P(1+r)
n
Muốn tìm thời gian
n cần để số tiền tăng gấp đôi, ta dùng logarit:
log(1+r)
log(A/P)
Mô hình tăng trưởng kinh tế thường được tuyến tính hóa nhờ logarit để phân tích.
5.3. Ứng dụng trong công nghệ thông tin
Logarit cơ số 2 được dùng để đo độ phức tạp thuật toán. Ví dụ: tìm kiếm nhị phân có độ phức tạp
O(logn).
Dữ liệu âm thanh, hình ảnh thường nén và xử lý theo thang đo logarit (dB, độ sáng, v.v.).
5.4. Ứng dụng trong đời sống thường nhật
Âm nhạc: Cường độ âm thanh đo bằng decibel (dB), dựa trên logarit.
Địa chất: Thang đo Richter về động đất là thang logarit.
Y học: Tốc độ lan truyền dịch bệnh thường được mô tả bằng hàm mũ, còn logarit giúp dự đoán thời gian khống chế.
6. Các bài toán tiêu biểu
6.1. Bài toán tăng trưởng dân số
Giả sử dân số một quốc gia tăng theo mô hình:
P(t)=P
6.2. Bài toán lãi suất kép
Một người gửi
100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất
8% mỗi năm. Sau bao lâu số tiền sẽ tăng thành
200 triệu?
Vậy khoảng 9 năm.