HNI 13/9 - Phần III. Hình Học & Hình Học Giải Tích (Chương 21 – 30)
Chương 21. Các định lý hình học cơ bản

1. Mở đầu: Tại sao cần các định lý hình học?
Hình học không chỉ là những hình vẽ trên giấy. Nó là cách con người mô tả thế giới, không gian, sự vật quanh ta bằng những quy tắc logic chặt chẽ. Nếu số học dạy ta về lượng, đại số dạy ta về mối quan hệ ẩn dưới các con số, thì hình học lại dạy ta về không gian và hình dạng – thứ mà mắt ta nhìn thấy, tay ta chạm được, nhưng trí óc cần định lý để chứng minh.
Một định lý hình học không phải chỉ là phát hiện của riêng một người, mà là sự thật phổ quát: đúng với mọi điểm, đường, góc, mặt phẳng trong không gian, bất kể ta vẽ nó ở đâu, trên giấy, trên bảng, hay trong không gian ba chiều.

Trong chương này, chúng ta sẽ bước vào thế giới các định lý hình học cơ bản – những viên gạch nền tảng tạo nên toàn bộ lâu đài hình học. Chúng không chỉ giúp ta giải toán, mà còn mở ra tầm nhìn triết học: thế giới có trật tự, có quy luật, và con người chỉ có thể tiến bộ khi nắm được những quy luật đó.

2. Định lý Pythagoras – cội nguồn của hình học không gian
Không có định lý nào nổi tiếng và nền tảng hơn định lý Pythagoras.
Phát biểu:
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

+

Định lý này không chỉ là công cụ giải toán tam giác vuông. Nó là chìa khóa để mở ra hình học giải tích, để đo đạc khoảng cách trong mặt phẳng và không gian, và là nền tảng cho cả toán học hiện đại như giải tích vector, không gian Hilbert, thậm chí cả thuyết tương đối trong vật lý.
Điều kỳ diệu là định lý này có hàng trăm cách chứng minh: từ Euclid, đến các nhà toán học Trung Hoa cổ đại, đến những hình vẽ đơn giản ghép các hình vuông. Chính sự đa dạng của chứng minh cho thấy tính chân lý vĩnh cửu của nó: một mệnh đề đơn giản, nhưng đẹp đến mức có vô số lối đi dẫn đến cùng một kết quả.

3. Định lý Thales – chiếc cầu nối từ đường tròn đến tam giác
Nếu Pythagoras cho ta sự hài hòa trong tam giác vuông, thì định lý Thales lại cho ta sự đối xứng trong đường tròn.
Phát biểu:
Nếu một tam giác được nội tiếp trong một đường tròn và có cạnh huyền là đường kính, thì tam giác đó là tam giác vuông.

Nói cách khác: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90°.

HNI 13-9
Chương 24: Khi Uy Tín Quan Trọng Hơn Lợi Nhuận Ngắn Hạn

1) Bản chất của lợi nhuận và uy tín

Trong kinh doanh, lợi nhuận là mục tiêu rõ ràng và là lý do tồn tại của doanh nghiệp. Nhưng có một sự thật: lợi nhuận chỉ là kết quả của niềm tin và uy tín, chứ không phải nguyên nhân gốc rễ.

Một doanh nghiệp chỉ tập trung vào lợi nhuận ngắn hạn có thể kiếm được tiền nhanh, nhưng dễ dàng đánh mất lòng tin lâu dài. Ngược lại, doanh nghiệp đặt uy tín lên hàng đầu có thể đi chậm hơn, nhưng lại vững bền và phát triển bền vững.

Câu hỏi đặt ra: Doanh nghiệp nên chọn 10 đồng lợi nhuận tức thì, hay 1 đồng niềm tin để mai này gặt cả nghìn đồng?

2) Uy tín – nền tảng vĩnh cửu

Uy tín không thể đo lường trực tiếp như con số lợi nhuận, nhưng lại là tài sản vô hình giá trị nhất. Nó chính là sự cam kết giữa doanh nghiệp và khách hàng, là điều khiến khách hàng quay lại, khiến đối tác tin tưởng, khiến nhân viên trung thành.

Lợi nhuận có thể biến mất sau một đêm, nếu uy tín bị tổn hại.

Uy tín một khi được xây dựng, sẽ sinh ra lợi nhuận bền vững năm này qua năm khác.

Một thương hiệu lớn trên thế giới có thể định giá hàng tỷ đô la, nhưng nếu mất uy tín, con số ấy lập tức sụp đổ.

3) Câu chuyện của HenryLe

HenryLe kể lại: “Có lần, công ty tôi được một khách hàng lớn đặt một dự án, giá trị lợi nhuận rất cao. Nhưng sau khi phân tích, tôi nhận ra rằng chúng tôi không thể làm tốt trong thời hạn khách yêu cầu. Nếu nhận hợp đồng, chắc chắn giao trễ và ảnh hưởng uy tín. Tôi quyết định từ chối. Lúc ấy, nhiều người bảo tôi ‘dại’, nhưng tôi hiểu rằng tôi giữ được một thứ quý hơn tiền: chữ tín.”

Kết quả sau này, chính khách hàng đó đã quay lại với những hợp đồng khác, vì họ tin vào sự trung thực và minh bạch.

HenryLe rút ra: “Lợi nhuận có thể mất, nhưng uy tín mà mất thì doanh nghiệp cũng không còn.”

4) Tâm lý khách hàng và sức mạnh niềm tin

Khách hàng hiện đại không chỉ mua sản phẩm, mà còn mua niềm tin.

Họ chọn sản phẩm vì tin vào chất lượng.

Họ gắn bó vì tin vào con người phía sau

HNI 13/9 - Chương 20. Đại số hiện đại và nền kinh tế số (liên hệ Blockchain)

Phần 1. Khởi nguồn của đại số và bước ngoặt hiện đại
Đại số là một trong những nhánh lâu đời và cơ bản nhất của Toán học. Từ thời Babylon cổ đại, con người đã biết dùng ký hiệu và phép biến đổi để giải quyết các bài toán thương mại, chia đất, tính lãi suất. Về sau, người Hy Lạp và người Ấn Độ phát triển thêm ký hiệu, hệ phương trình, đặt nền móng cho đại số sơ cấp mà ngày nay học sinh trên toàn thế giới vẫn còn làm quen.
Nhưng khi bước vào thế kỷ XX, đại số không còn dừng lại ở việc giải phương trình bậc hai, bậc ba. Nó bùng nổ thành một “ngôn ngữ trừu tượng” mới, được gọi là đại số hiện đại. Các khái niệm như nhóm (group), vành (ring), trường (field), mô-đun (module) không còn đơn thuần là bài toán số học mà trở thành cấu trúc tổng quát, bao trùm nhiều lĩnh vực khoa học.

Điểm đặc biệt của đại số hiện đại chính là khả năng mô hình hóa sự trừu tượng: mọi hệ thống có quy tắc vận hành đều có thể được diễn đạt thành một cấu trúc đại số. Và từ đó, Toán học không chỉ phục vụ tính toán mà còn trở thành công cụ kiến tạo các hệ thống tư duy, các nền tảng công nghệ.

Blockchain – công nghệ nền tảng cho nền kinh tế số phi tập trung – chính là một minh chứng điển hình. Bên trong blockchain, những phép toán mật mã, những luật vận hành giao dịch, những nguyên tắc bất biến đều là ứng dụng trực tiếp của đại số hiện đại.

Phần 2. Đại số trừu tượng – nền móng của tư duy hệ thống
Đại số hiện đại còn gọi là đại số trừu tượng. Khác với đại số sơ cấp, vốn tập trung giải phương trình, đại số trừu tượng tìm cách định nghĩa các đối tượng toán học dưới dạng tập hợp kèm quy tắc vận hành.
Nhóm (Group): Là cấu trúc gồm một tập hợp và một phép toán thỏa bốn tính chất: đóng, kết hợp, tồn tại phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo. Đây chính là nền tảng cho lý thuyết đối xứng, mật mã học và nhiều ứng dụng trong blockchain.
Vành (Ring) và Trường (Field): Vành mở rộng khái niệm nhóm với hai phép toán, còn trường là vành mà mọi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo nhân. Tất cả các phép toán trên số thực, số phức, thậm chí số trong máy tính đều là ví dụ điển hình của trường.

HNI 13/9 - Chương 19. Giới hạn – cầu nối giữa rời rạc và liên tục

Phần 1. Mở đầu – Tại sao cần đến giới hạn?
Trong hành trình toán học, ta từng bước đi từ số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ cho đến số thực. Ta học cộng, trừ, nhân, chia, tìm căn bậc hai, giải phương trình… Tất cả những bước đi đó đều mang tính rời rạc, từng con số, từng phép toán, từng quy tắc. Nhưng rồi, khi đối diện với những bài toán phức tạp hơn – như tốc độ thay đổi tức thời của một vật, diện tích một hình cong, hay tổng của một dãy vô tận – những công cụ cũ dường như không còn đủ. Ta cần một cầu nối để bước từ cái rời rạc sang cái liên tục.
Cầu nối ấy chính là giới hạn (limit).

Không có khái niệm giới hạn, sẽ không có đạo hàm, không có tích phân, và cũng không có giải tích – thứ ngôn ngữ vĩ đại của khoa học hiện đại. Newton và Leibniz, khi xây dựng giải tích, đã phải đặt nền móng bằng việc hiểu "giới hạn" của một đại lượng khi nó tiến dần đến một giá trị nào đó.

Giới hạn cho phép ta:

Xác định giá trị của những biểu thức dường như “không thể tính được” (chẳng hạn như 0/0).
Biểu diễn quá trình vô hạn bằng những con số hữu hạn.
Đưa sự thay đổi liên tục của tự nhiên vào trong toán học.
Nếu không có giới hạn, toán học chỉ dừng lại ở những lát cắt rời rạc. Có giới hạn, toán học trở thành dòng chảy, trở thành một nhạc khúc vô tận của sự vận động.
Phần 2. Giới hạn trực giác – tiếp cận từ hình ảnh
Hãy tưởng tượng bạn đang đi về phía ngôi nhà. Khoảng cách giữa bạn và nhà ban đầu là 100 mét. Mỗi bước bạn đi nửa quãng đường còn lại: bước thứ nhất còn 50m, bước thứ hai còn 25m, bước thứ ba còn 12,5m… Liệu bạn có bao giờ chạm tới cánh cửa nhà?
Nếu chỉ nhìn từ số liệu rời rạc, câu trả lời là không bao giờ – bởi khoảng cách còn lại luôn dương, luôn còn một nửa. Nhưng nếu nhìn bằng con mắt giới hạn, ta thấy rằng khoảng cách ấy tiến dần đến 0. Và vì thế, ta thực sự chạm cửa.

Đó là trực giác đầu tiên về giới hạn: một dãy số có thể không bao giờ “chạm” vào giá trị, nhưng tiến đến gần vô hạn lần. Giá trị mà nó hướng tới chính là giới hạn.

Phần 3. Định nghĩa toán học của giới hạn dãy số
Giả sử ta có một dãy số
e
e, một hằng số vĩ đại trong toán học.

HNI 13/9 - Chương 18. Tích phân – diện tích và giá trị tiềm ẩn

1. Mở đầu – từ những mảnh vụn đến tổng thể
Toán học luôn có hai mặt: phân tích cái nhỏ bé để hiểu quy luật, và gom góp cái nhỏ bé ấy để xây dựng bức tranh toàn cảnh. Nếu đạo hàm là công cụ để tách, phân rã, đo đạc sự biến thiên tại từng điểm cực nhỏ, thì tích phân lại là phép tổng hợp, khâu nối, gắn kết những hạt vụn thành một chỉnh thể.
Ý tưởng của tích phân xuất hiện từ câu hỏi giản dị: làm thế nào để tính diện tích dưới một đường cong, khi hình dạng đó không phải là hình chữ nhật, hình vuông, hay hình tam giác quen thuộc? Người Hy Lạp cổ đã dùng phương pháp “cạn kiệt” (method of exhaustion), chia nhỏ miền cần tính thành các hình quen thuộc, rồi cộng dần kết quả. Đó chính là mầm mống của tư duy tích phân.

Ngày nay, tích phân không chỉ còn là chuyện “tính diện tích” nữa. Nó đã trở thành ngôn ngữ để mô tả khối lượng, năng lượng, xác suất, dòng chảy, giá trị kỳ vọng… – tất cả những gì cần tổng hợp từ cái nhỏ để thấy cái lớn. Nó mang một ý nghĩa triết học sâu sắc: giá trị thật sự của một hệ thống không nằm ở từng mảnh rời rạc, mà ở toàn thể được gom lại từ vô số hạt vi mô.

2. Khái niệm trực giác về tích phân
Để hiểu tích phân, ta hãy tưởng tượng một thửa ruộng có bờ cong theo hình parabol. Nếu muốn biết diện tích thửa ruộng ấy, ta không thể chỉ áp dụng công thức hình chữ nhật hay hình tròn. Cách duy nhất là chia nó thành vô số dải nhỏ, mỗi dải gần giống một hình chữ nhật, rồi cộng tất cả lại.
Khi số dải tiến tới vô hạn, kích thước mỗi dải tiến tới bằng không, tổng các diện tích xấp xỉ tiến đến một giá trị ổn định. Giá trị ấy chính là diện tích thật sự dưới đường cong. Đó chính là trực giác của tích phân xác định.

Về mặt ký hiệu, ta viết:

S
=
∫
a


f(x)dx
Ở đây:
f
(
x
)
f(x) là độ cao của đường cong tại điểm
x
x.
d
x
dx biểu thị một “độ rộng vô cùng bé”.
Dấu tích phân
∫
∫ là sự tổng hợp của vô hạn những mảnh cực nhỏ.
Giới hạn
a
,
b
a,b cho ta miền cần tính toán.
Chỉ với một công thức ngắn gọn, tích phân đã trở thành cây cầu nối liền vô hạn với hữu hạn, vi mô với vĩ mô.
3. Tích phân và đạo hàm – mối quan hệ ngược chiều

HNI 13-9
Chương 24: Khi Uy Tín Quan Trọng Hơn Lợi Nhuận Ngắn Hạn

1) Bản chất của lợi nhuận và uy tín

Trong kinh doanh, lợi nhuận là mục tiêu rõ ràng và là lý do tồn tại của doanh nghiệp. Nhưng có một sự thật: lợi nhuận chỉ là kết quả của niềm tin và uy tín, chứ không phải nguyên nhân gốc rễ.

Một doanh nghiệp chỉ tập trung vào lợi nhuận ngắn hạn có thể kiếm được tiền nhanh, nhưng dễ dàng đánh mất lòng tin lâu dài. Ngược lại, doanh nghiệp đặt uy tín lên hàng đầu có thể đi chậm hơn, nhưng lại vững bền và phát triển bền vững.

Câu hỏi đặt ra: Doanh nghiệp nên chọn 10 đồng lợi nhuận tức thì, hay 1 đồng niềm tin để mai này gặt cả nghìn đồng?

2) Uy tín – nền tảng vĩnh cửu

Uy tín không thể đo lường trực tiếp như con số lợi nhuận, nhưng lại là tài sản vô hình giá trị nhất. Nó chính là sự cam kết giữa doanh nghiệp và khách hàng, là điều khiến khách hàng quay lại, khiến đối tác tin tưởng, khiến nhân viên trung thành.

Lợi nhuận có thể biến mất sau một đêm, nếu uy tín bị tổn hại.

Uy tín một khi được xây dựng, sẽ sinh ra lợi nhuận bền vững năm này qua năm khác.

Một thương hiệu lớn trên thế giới có thể định giá hàng tỷ đô la, nhưng nếu mất uy tín, con số ấy lập tức sụp đổ.

3) Câu chuyện của HenryLe

HenryLe kể lại: “Có lần, công ty tôi được một khách hàng lớn đặt một dự án, giá trị lợi nhuận rất cao. Nhưng sau khi phân tích, tôi nhận ra rằng chúng tôi không thể làm tốt trong thời hạn khách yêu cầu. Nếu nhận hợp đồng, chắc chắn giao trễ và ảnh hưởng uy tín. Tôi quyết định từ chối. Lúc ấy, nhiều người bảo tôi ‘dại’, nhưng tôi hiểu rằng tôi giữ được một thứ quý hơn tiền: chữ tín.”

Kết quả sau này, chính khách hàng đó đã quay lại với những hợp đồng khác, vì họ tin vào sự trung thực và minh bạch.

HenryLe rút ra: “Lợi nhuận có thể mất, nhưng uy tín mà mất thì doanh nghiệp cũng không còn.”

4) Tâm lý khách hàng và sức mạnh niềm tin

Khách hàng hiện đại không chỉ mua sản phẩm, mà còn mua niềm tin.

Họ chọn sản phẩm vì tin vào chất lượng.

Họ gắn bó vì tin vào con người phía sau thương hiệu.

Họ giới thiệu bạn bè vì tin vào giá trị thật sự mà doanh nghiệp đem lại.

Một khách hàng trung thành có giá trị gấp mười lần một khách hàng mới. Và sự trung thành ấy không thể mua bằng quảng cáo, mà chỉ có thể đến từ uy tín tích lũy theo thời gian.