HNI 14/9 - Chương 39: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1. Mở đầu – Ý nghĩa của bài toán cực trị trong Toán học và đời sống Trong lịch sử toán học, một trong những câu hỏi quan trọng và thú vị nhất mà con người luôn đặt ra là: “Giá trị lớn nhất có thể đạt được là gì? Giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?”. Những câu hỏi tưởng chừng đơn giản này đã mở ra một lĩnh vực rộng lớn được gọi là cực trị học (optimization). Các bài toán cực trị không chỉ là trò chơi tư duy trừu tượng, mà còn có vô số ứng dụng thực tiễn: từ việc tìm đường đi ngắn nhất trong giao thông, thiết kế tối ưu trong kỹ thuật, đến việc phân bổ nguồn lực hợp lý trong kinh tế. Bài toán cực trị trở thành cầu nối giữa toán học thuần túy và các lĩnh vực ứng dụng, giữa tư duy lý thuyết và hành động thực tiễn. Trong chương này, chúng ta sẽ bước vào thế giới của các bài toán cực trị, tìm hiểu nền tảng lý thuyết, các công cụ giải quyết, và đặc biệt là khả năng ứng dụng vào những tình huống cụ thể. 2. Khái niệm cơ bản về cực trị 2.1. Định nghĩa cực trị của hàm số Cho một hàm số f ( x ) f(x) xác định trên một tập hợp D D. Cực đại tại điểm x )≥f(x) với mọi x ∈ D x∈D. Cực tiểu tại điểm ​ )≤f(x) với mọi x ∈ D x∈D. Nếu bất đẳng thức chỉ đúng trong một lân cận của x 0 x 0 ​ , ta có cực trị địa phương (local extremum). Ví dụ: Hàm số 2 f(x)=−x 2 đạt cực đại tại x = 0 x=0 với giá trị cực đại là 0. 2.2. Các loại cực trị Cực trị không điều kiện: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên toàn miền xác định. Cực trị có điều kiện: tìm cực trị khi biến số bị ràng buộc bởi một phương trình hoặc bất phương trình. Đây là loại bài toán quan trọng trong ứng dụng. 2.3. Ý nghĩa trực quan Có thể hình dung hàm số như một dãy núi và thung lũng. Đỉnh núi chính là cực đại, còn đáy thung lũng chính là cực tiểu. Nhiệm vụ của ta là leo lên đến đỉnh cao nhất hoặc tìm xuống điểm thấp nhất. 3. Công cụ giải bài toán cực trị trong giải tích 3.1. Đạo hàm và cực trị Một trong những công cụ mạnh mẽ nhất để tìm cực trị là đạo hàm. Nếu (x)=0 hoặc ′ (x) không xác định, ta có các điểm tới hạn (critical points). Dùng bảng biến thiên hoặc đạo hàm bậc hai để phân loại cực đại, cực tiểu. Ví dụ: Hàm ′ (x)=3x 2 −3=3(x−1)(x+1). Vậy các điểm tới hạn: Đọc ít hơn

HNI 14/9 - 💎Phần VI. TƯƠNG LAI TOÁN HỌC & MINH TRIẾT ỨNG DỤNG (Chương 41 – 45) 🌺Chương 41. Toán học và công nghệ Web3 1. Khởi đầu: Toán học – nhịp đập thầm lặng của Web3 Khi nhân loại bước vào kỷ nguyên Web3 – một không gian phi tập trung, nơi dữ liệu, giá trị và quyền lực được tái phân bổ về tay từng cá nhân – toán học trở thành nền móng vô hình nhưng không thể thiếu. Nếu Web1 là “thông tin”, Web2 là “kết nối xã hội”, thì Web3 chính là “quyền sở hữu và giá trị số” được bảo chứng bằng toán học mật mã học. Không có một dòng code blockchain nào tồn tại ngoài sự chứng thực của các định lý số học, không một giao dịch Hcoin nào có thể được xác minh nếu thiếu đi cấu trúc logic chặt chẽ của lý thuyết xác suất và hàm băm. Toán học trong Web3 không phải là một môn học trừu tượng, mà là một hệ thống luật tự nhiên số hóa: Mỗi phương trình chính là một cam kết. Mỗi thuật toán là một hiến pháp. Mỗi hàm băm là một chữ ký bất biến. Mỗi hợp đồng thông minh là sự thể hiện của tư duy logic trong không gian số. Nhìn sâu hơn, Web3 không chỉ ứng dụng toán học, mà còn mở ra cơ hội để toán học được ứng dụng ở quy mô chưa từng có, biến thành một loại “hạ tầng tri thức” toàn cầu. 2. Mật mã học: Sự bảo chứng của niềm tin Không có niềm tin, Web3 sụp đổ. Và niềm tin trong không gian phi tập trung không dựa vào con người hay tổ chức, mà dựa vào công thức toán học. 2.1. Hàm băm và tính bất biến Hàm băm là nền tảng bảo mật. Chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ liệu, kết quả băm hoàn toàn khác biệt, khiến mọi hành vi sửa đổi trở nên vô nghĩa. Điều này chính là minh chứng cho sự bất biến của blockchain. 2.2. Chữ ký số và lý thuyết số Chữ ký số dựa vào bài toán logarit rời rạc và phân tích số nguyên lớn – một trong những thành tựu quan trọng nhất của toán học hiện đại. Mỗi giao dịch trên Web3 được ký bằng một chứng minh toán học rằng “tôi là tôi”, mà không cần tiết lộ danh tính. 2.3. ZK-SNARKs và toán học chứng minh không tiết lộ Một đột phá khác là Zero-Knowledge Proofs – chứng minh không tiết lộ. Nhờ nó, người dùng có thể chứng minh mình có quyền thực hiện một giao dịch mà không cần tiết lộ thông tin. Đây là toán học ở cấp độ triết học: chứng minh mà không phơi bày sự thật, bảo vệ quyền riêng tư nhưng vẫn duy trì niềm tin chung.

HNI 14/9: CHƯƠNG 17: Làm sân khấu biểu diễn và bán vé theo phong cách “Sách Trắng: 1000 Ý TƯỞNG KHỞI NGHIỆP CHO CÁC EM BÉ” nhé. CHƯƠNG 17: Làm sân khấu biểu diễn và bán vé Trong mỗi em bé đều có một nghệ sĩ nhỏ ẩn giấu – có thể là ca sĩ, diễn viên, ảo thuật gia, hay đơn giản chỉ là người kể chuyện vui. Ý tưởng khởi nghiệp ở đây chính là: tạo một sân khấu mini, tổ chức biểu diễn và bán vé cho gia đình, bạn bè, hàng xóm. 1. Bước đầu hình thành ý tưởng Chọn loại hình biểu diễn: hát, múa, kịch vui, kể chuyện, ảo thuật, hoặc thậm chí biểu diễn lego show. Nhóm sáng tạo: có thể rủ thêm bạn bè cùng tham gia để có nhiều tiết mục. Chọn địa điểm: phòng khách, sân nhà, hoặc lớp học đều có thể biến thành sân khấu. 2. Chuẩn bị sân khấu và vé Trang trí đơn giản: dùng rèm cửa làm phông nền, bóng bay làm đạo cụ. Đèn sân khấu: có thể tận dụng đèn pin, đèn bàn, hoặc ánh sáng tự nhiên. Vé xem: trẻ có thể tự vẽ vé bằng giấy màu, trang trí hình ảnh ngộ nghĩnh. Giá vé: tượng trưng, chỉ vài nghìn đồng hoặc bằng hiện vật (kẹo, sách cũ). 3. Quản lý và bán vé Một bạn đóng vai “quản lý rạp hát”, bán vé và giữ tiền. Một bạn làm “người dẫn chương trình”. Khán giả là bố mẹ, ông bà, anh chị, bạn bè. 4. Giá trị học được Tinh thần khởi nghiệp: trẻ biết cách tạo sản phẩm (tiết mục), quảng bá (mời khán giả), bán hàng (vé) và quản lý chi phí. Tự tin và sáng tạo: đứng trên sân khấu giúp trẻ vượt qua nỗi sợ đám đông. Hợp tác nhóm: các em cùng nhau tập luyện, phân công vai trò, chia sẻ niềm vui. Ý thức giá trị: hiểu rằng tài năng và nỗ lực có thể tạo ra thu nhập, dù nhỏ. 5. Mở rộng ý tưởng Biến thành chuỗi biểu diễn định kỳ (mỗi tháng một show). Quay video lại, đưa lên kênh YouTube của bé. Kết hợp với ý thức cộng đồng: dành một phần tiền vé để ủng hộ trẻ em khó khăn. 💡 Thông điệp khởi nghiệp: Một tấm rèm cửa có thể thành phông màn, một ánh đèn nhỏ có thể thắp sáng ước mơ lớn. Sân khấu không chỉ là nơi biểu diễn, mà còn là nơi gieo mầm cho những doanh nhân nghệ sĩ tương lai.

HNI 14/9 - 🌺Chương 35. HenryLe – Lê Đình Hải và tầm nhìn “Toán học dữ liệu” cho thế hệ trẻ 1. Mở đầu – Một tầm nhìn vượt thời đại Trong suốt chiều dài lịch sử, toán học luôn là nền tảng của mọi tiến bộ. Từ những con số nguyên sơ khắc trên vách đá, đến hệ hình học của Euclid, từ giải tích của Newton đến lý thuyết xác suất của Pascal – toán học không chỉ là công cụ, mà còn là ngọn đuốc soi đường cho sự phát triển của nhân loại. Thế nhưng, ở thế kỷ XXI, một kỷ nguyên hoàn toàn mới đã mở ra: kỷ nguyên dữ liệu. Chưa bao giờ trong lịch sử, loài người lại tạo ra và lưu trữ khối lượng dữ liệu khổng lồ như ngày nay. Mọi cú nhấp chuột, mọi giao dịch, mọi di chuyển, thậm chí từng nhịp tim, từng hơi thở của con người đều có thể được ghi nhận thành dữ liệu. Trong bối cảnh đó, một khái niệm đã ra đời, vừa mang tính khoa học vừa mang tính nhân văn: “Toán học dữ liệu”. HenryLe – Lê Đình Hải, một nhà nghiên cứu và tư tưởng, đã sớm nhìn thấy sự chuyển dịch lịch sử này. Với ông, toán học không chỉ là những định lý khô khan hay bài toán trên bảng, mà chính là ngôn ngữ để đọc hiểu dữ liệu, để biến dữ liệu thành tri thức, và từ tri thức thành sức mạnh cho thế hệ trẻ. Tầm nhìn ấy không đơn thuần là một dự án học thuật. Đó là lời kêu gọi, một triết lý giáo dục, một định hướng chiến lược để chuẩn bị cho lớp trẻ bước vào một thế giới nơi dữ liệu là tài sản quý giá nhất. 2. Toán học dữ liệu là gì? Để hiểu rõ tầm nhìn của HenryLe, trước hết cần định nghĩa Toán học dữ liệu. Đây không phải là một ngành học mới hoàn toàn, mà là sự giao thoa của nhiều lĩnh vực: Toán học thuần túy: đại số tuyến tính, xác suất – thống kê, giải tích, tối ưu hóa. Khoa học máy tính: thuật toán, học máy, trí tuệ nhân tạo. Ứng dụng thực tiễn: tài chính, y tế, giáo dục, kinh doanh, quản trị xã hội. Nếu ví dữ liệu là “dầu mỏ mới” của thời đại, thì toán học dữ liệu chính là công cụ khai thác, tinh luyện và biến đổi dầu mỏ ấy thành năng lượng cho nền văn minh. Ở cấp độ cơ bản, toán học dữ liệu giúp ta trả lời những câu hỏi tưởng chừng đơn giản: Tại sao một quảng cáo lại hiện lên đúng sở thích của ta? Làm sao ngân hàng dự đoán rủi ro tín dụng? Vì sao Google Maps biết con đường nào tắc, con đường nào thông?

HNI 14/9: CHƯƠNG 17: Làm sân khấu biểu diễn và bán vé theo phong cách “Sách Trắng: 1000 Ý TƯỞNG KHỞI NGHIỆP CHO CÁC EM BÉ” nhé. CHƯƠNG 17: Làm sân khấu biểu diễn và bán vé Trong mỗi em bé đều có một nghệ sĩ nhỏ ẩn giấu – có thể là ca sĩ, diễn viên, ảo thuật gia, hay đơn giản chỉ là người kể chuyện vui. Ý tưởng khởi nghiệp ở đây chính là: tạo một sân khấu mini, tổ chức biểu diễn và bán vé cho gia đình, bạn bè, hàng xóm. 1. Bước đầu hình thành ý tưởng Chọn loại hình biểu diễn: hát, múa, kịch vui, kể chuyện, ảo thuật, hoặc thậm chí biểu diễn lego show. Nhóm sáng tạo: có thể rủ thêm bạn bè cùng tham gia để có nhiều tiết mục. Chọn địa điểm: phòng khách, sân nhà, hoặc lớp học đều có thể biến thành sân khấu. 2. Chuẩn bị sân khấu và vé Trang trí đơn giản: dùng rèm cửa làm phông nền, bóng bay làm đạo cụ. Đèn sân khấu: có thể tận dụng đèn pin, đèn bàn, hoặc ánh sáng tự nhiên. Vé xem: trẻ có thể tự vẽ vé bằng giấy màu, trang trí hình ảnh ngộ nghĩnh. Giá vé: tượng trưng, chỉ vài nghìn đồng hoặc bằng hiện vật (kẹo, sách cũ). 3. Quản lý và bán vé Một bạn đóng vai “quản lý rạp hát”, bán vé và giữ tiền. Một bạn làm “người dẫn chương trình”. Khán giả là bố mẹ, ông bà, anh chị, bạn bè. 4. Giá trị học được Tinh thần khởi nghiệp: trẻ biết cách tạo sản phẩm (tiết mục), quảng bá (mời khán giả), bán hàng (vé) và quản lý chi phí. Tự tin và sáng tạo: đứng trên sân khấu giúp trẻ vượt qua nỗi sợ đám đông. Hợp tác nhóm: các em cùng nhau tập luyện, phân công vai trò, chia sẻ niềm vui. Ý thức giá trị: hiểu rằng tài năng và nỗ lực có thể tạo ra thu nhập, dù nhỏ. 5. Mở rộng ý tưởng Biến thành chuỗi biểu diễn định kỳ (mỗi tháng một show). Quay video lại, đưa lên kênh YouTube của bé. Kết hợp với ý thức cộng đồng: dành một phần tiền vé để ủng hộ trẻ em khó khăn. 💡 Thông điệp khởi nghiệp: Một tấm rèm cửa có thể thành phông màn, một ánh đèn nhỏ có thể thắp sáng ước mơ lớn. Sân khấu không chỉ là nơi biểu diễn, mà còn là nơi gieo mầm cho những doanh nhân nghệ sĩ tương lai.

HNI 14/9 - 💥💥💥. 🌺 CHƯƠNG 34:TOÁN XÁC SUẤT TRONG ĐỜI SỐNG VÀ KINH DOANH 1. MỞ ĐẦU : XÁC SUẤT – NGÔN NGỮ CỦA SỰ BẤT ĐỊNH Trong cuộc sống hàng ngày, ta luôn phải đối diện với những tình huống bất định: hôm nay trời có mưa không, việc đầu tư có sinh lời không, hay thậm chí một quyết định nhỏ như đi con đường nào để đến nơi làm việc nhanh nhất. Tất cả những bất định đó đều có thể được lý giải và dự đoán thông qua toán xác suất – bộ môn toán học nghiên cứu về quy luật của ngẫu nhiên. Không chỉ dừng lại ở lý thuyết, xác suất đã và đang trở thành công cụ không thể thiếu trong kinh doanh, quản lý rủi ro, phân tích tài chính, bảo hiểm, y học, công nghệ, và cả trong đời sống cá nhân. Người nào hiểu xác suất sẽ có lợi thế hơn trong việc ra quyết định, vì thay vì dựa vào cảm tính, họ dựa vào tính toán hợp lý về khả năng xảy ra. Chương này sẽ đi sâu vào việc giải thích tại sao xác suất lại quan trọng trong đời sống, kinh doanh, và đưa ra những ví dụ thực tế từ những lĩnh vực khác nhau để làm rõ sức mạnh của công cụ này. 2. Khái niệm cơ bản về xác suất 2.1. Biến cố và khả năng xảy ra Trong xác suất, một biến cố là một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong một thí nghiệm ngẫu nhiên. Ví dụ: gieo một đồng xu, biến cố "xuất hiện mặt ngửa" có thể xảy ra hoặc không. Khả năng xảy ra của biến cố được đo bằng xác suất, giá trị nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Xác suất = 0: biến cố chắc chắn không xảy ra. Xác suất = 1: biến cố chắc chắn xảy ra. Xác suất nằm giữa 0 và 1: biến cố có thể xảy ra với một mức độ khả năng nào đó. 2.2. Quy tắc cộng và nhân trong xác suất Quy tắc cộng: nếu hai biến cố loại trừ nhau (không thể xảy ra cùng lúc), thì xác suất của "một trong hai" bằng tổng xác suất của chúng. Quy tắc nhân: nếu hai biến cố độc lập, xác suất cùng xảy ra bằng tích xác suất của từng biến cố. 2.3. Xác suất có điều kiện Trong đời sống và kinh doanh, hiếm khi các sự kiện độc lập. Do đó, ta cần xác suất có điều kiện – khả năng xảy ra của một biến cố khi đã biết một biến cố khác xảy ra. Ví dụ:

HNI 14/9 - B30. 💥💥💥. 💎PHẦN IV. CHUYÊN ĐỀ TOÁN NÂNG CAO (CHƯƠNG 36 – 40) 🌺 CHƯƠNG 36.: SỐ PHỨC – MỞ RỘNG THẾ GIỚI SỐ HỌC 1. MỞ ĐẦU: GIỚI HẠN CỦA THẾ GIỚI SỐ THỰC Trong hàng nghìn năm, nhân loại đã quen sống trong thế giới của số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, và số thực. Đó là các hệ thống số được hình thành để phục vụ cho việc đếm, đo lường, tính toán và mô tả thế giới vật chất. Tuy nhiên, toán học luôn phát triển từ nhu cầu giải quyết những bài toán tưởng chừng vô lý hoặc không thể có lời giải. Một ví dụ kinh điển: phương trình bậc hai Trong hệ thống số thực, không tồn tại nghiệm nào vì bình phương của một số thực luôn không âm. Câu hỏi đặt ra: Liệu có một loại số mới nào đó, nằm ngoài tập số thực, có thể đóng vai trò là nghiệm của phương trình này? Chính từ thắc mắc ấy, nhân loại đã bước vào một thế giới hoàn toàn mới: số phức. Việc chấp nhận và phát triển khái niệm số phức không chỉ là mở rộng tập hợp số học, mà còn tạo nên một trong những cách mạng lớn nhất trong toán học hiện đại. 2. Lịch sử hình thành số phức 2.1 Thời kỳ sơ khai – khi “căn bậc hai của số âm” bị xem là vô nghĩa Trong thế kỷ XVI, khi các nhà toán học châu Âu tìm cách giải phương trình bậc ba và bậc bốn, họ thường gặp các biểu thức chứa căn bậc hai của số âm. Nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano (1501–1576) là một trong những người đầu tiên chạm trán với loại số kỳ lạ này. Ông tạm gọi chúng là “số giả tưởng” (fictitious numbers) nhưng chưa thể đưa ra định nghĩa chặt chẽ. 2.2 Rafael Bombelli – nền móng cho số phức Khoảng năm 1572, Rafael Bombelli đã mạnh dạn xây dựng những quy tắc tính toán với các căn bậc hai của số âm, dù chưa có nền tảng lý thuyết vững chắc. Ông coi số ​ là một thực thể toán học hợp lệ, mở ra cánh cửa cho khái niệm số phức sau này. 2.3 Từ hoài nghi đến chấp nhận Trong nhiều thế kỷ, số phức bị xem như một trò chơi hình thức, không gắn với thực tại. Chỉ đến thế kỷ XVIII, với sự đóng góp của Euler và Gauss, số phức mới được đặt lên nền móng vững chắc. Euler đã giới thiệu ký hiệu e iθ =cosθ+isinθ, một trong những biểu tượng đẹp nhất của toán học.

HNI 14-9 Chương 17 Làm sân khấu biểu diễn và bán vé “Sách Trắng: 1000 Ý TƯỞNG KHỞI NGHIỆP CHO CÁC EM BÉ” Trong mỗi em bé đều có một nghệ sĩ nhỏ ẩn giấu – có thể là ca sĩ, diễn viên, ảo thuật gia, hay đơn giản chỉ là người kể chuyện vui. Ý tưởng khởi nghiệp ở đây chính là: tạo một sân khấu mini, tổ chức biểu diễn và bán vé cho gia đình, bạn bè, hàng xóm. 1. Bước đầu hình thành ý tưởng Chọn loại hình biểu diễn: hát, múa, kịch vui, kể chuyện, ảo thuật, hoặc thậm chí biểu diễn lego show. Nhóm sáng tạo: có thể rủ thêm bạn bè cùng tham gia để có nhiều tiết mục. Chọn địa điểm: phòng khách, sân nhà, hoặc lớp học đều có thể biến thành sân khấu. 2. Chuẩn bị sân khấu và vé Trang trí đơn giản: dùng rèm cửa làm phông nền, bóng bay làm đạo cụ. Đèn sân khấu: có thể tận dụng đèn pin, đèn bàn, hoặc ánh sáng tự nhiên. Vé xem: trẻ có thể tự vẽ vé bằng giấy màu, trang trí hình ảnh ngộ nghĩnh. Giá vé: tượng trưng, chỉ vài nghìn đồng hoặc bằng hiện vật (kẹo, sách cũ). 3. Quản lý và bán vé Một bạn đóng vai “quản lý rạp hát”, bán vé và giữ tiền. Một bạn làm “người dẫn chương trình”. Khán giả là bố mẹ, ông bà, anh chị, bạn bè. 4. Giá trị học được Tinh thần khởi nghiệp: trẻ biết cách tạo sản phẩm (tiết mục), quảng bá (mời khán giả), bán hàng (vé) và quản lý chi phí. Tự tin và sáng tạo: đứng trên sân khấu giúp trẻ vượt qua nỗi sợ đám đông. Hợp tác nhóm: các em cùng nhau tập luyện, phân công vai trò, chia sẻ niềm vui. Ý thức giá trị: hiểu rằng tài năng và nỗ lực có thể tạo ra thu nhập, dù nhỏ. 5. Mở rộng ý tưởng Biến thành chuỗi biểu diễn định kỳ (mỗi tháng một show). Quay video lại, đưa lên kênh YouTube của bé. Kết hợp với ý thức cộng đồng: dành một phần tiền vé để ủng hộ trẻ em khó khăn. 💡 Thông điệp khởi nghiệp: Một tấm rèm cửa có thể thành phông màn, một ánh đèn nhỏ có thể thắp sáng ước mơ lớn. Sân khấu không chỉ là nơi biểu diễn, mà còn là nơi gieo mầm cho những doanh nhân nghệ sĩ tương lai.

HNI 14-9 - B21. 💥💥💥 🎵 BÀI HÁT CHƯƠNG 30: "CÚI ĐÂÙ MÙA THU” [Verse 1] Mùa thu rơi trên con đường cũ, Lá vàng bay, gợi nhớ năm qua. Ta đã đi, bao mùa giông tố, Giờ ngoái nhìn, thấy mình trưởng thành. [Pre-Chorus] Có vinh quang, có thương đau, Có đỉnh cao, có vực sâu. Nhưng ta biết, một điều thôi, Ngày mai đến, ta sẵn sàng rồi. [Chorus] Thu cho ta cúi đầu, Sau bao tháng năm rực cháy. Thu cho ta biết rằng, Thành công cũng chỉ là mây. Gặt về bao lúa vàng, Giữ lại niềm tin còn mãi. Bước vào đông lạnh giá, Tâm bình an, ta chẳng hề run. [Verse 2] Doanh nghiệp kia qua bao mùa lửa, Giờ lắng yên, gặt hái thành công. Nhưng tương lai, đâu ai biết trước, Chuẩn bị thôi, để vượt mùa đông. [Pre-Chorus] Có uy tín, có niềm tin, Đó mới chính, giá trị bền. Không phù hoa, chẳng ồn ào, Chỉ lặng im, để sống dài lâu. [Chorus lặp lại] [Bridge] Ngủ quên trên chiến thắng, là con đường ngắn ngủi thôi. Khiêm nhường sau thành tựu, mới là người sống mãi đời. [Chorus cuối – cao trào] Thu cho ta cúi đầu, Sau bao tháng năm rực cháy. Thu cho ta biết rằng, Thành công cũng chỉ là mây. Gặt về bao lúa vàng, Giữ lại niềm tin còn mãi. Bước vào đông lạnh giá, Ta tự tin đi tiếp vòng đời.